Zを整数環、AとBを可換環、Hom(A,B)をAからBへの環の準同型写像の全体の集合とします。
A ~= BをAとBが同型だという記号とします。
質問1
f(x,y)∈Z[x,y]とするとき、I=(f(x,y))はZ[x,y]のイデアルです。
ある本に、
Hom(Z[x]/(F) , A) ~= {a∈A | f(a)=0} (F∈Z[x])
とあるのですが、多変数については「同じことが成立する」としか書いていません。
これの類推は、
Hom(Z[x,y]/I , A) ~= {a , b ∈A |f(a,b)=0}
でよいでしょうか?間違いなら、なにが同型でしょうか?(できれば証明付きで)
質問2
g(x),h(x),a(x)∈Z[x]とします。Z[x]のイデアル
J=(g(x) , h(x))=g(x)Z[x] + h(x)Z[x]
について、剰余環Z[x]/Jの元はとして、
a(x)+J、つまりa(x)+g(x)Z[x] + h(x)Z[x]
乗法の単位元は
1+J
加法の単位元は
0+J = J
であってるのでしょうか?
特に質問1はネットで調べてもあまり出てきません。調べ方のコツか何かありましたら、あわせてご教授願います。
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
質問1
1 変数版のとき、基礎環は Z でなくても、
任意の可換整域で同様に成り立ちます。
Z[x,y] は (Z[x])[y] なので、
ただちに、貴方の推測どおり。
質問2
それは、Z[x] の単位元気が 1、零元が 0
であることを確認しているのかな?
質問するまでもないように思うけど…
No.1
- 回答日時:
(1) 質問1について
okdtyさんの類推で正しいです。
φ∈Hom(Z[x1, x2, .., xk]/I , A)
←(1:1)→
全てのf∈I について f(a1, a2, .., ak)=0 を満たすような組(a1, a2, .., ak)=(φ(x1), φ(x2), .., φ(xk) )
という対応です。(a1, a2, .., ak)についての I の関係式による束縛条件はφが(乗法の単位元を保つ)準同型であることからただちに従います。この対応の両辺は環、アーベル群などの代数構造を持たないことに注意してください。左辺は(A上の)アフィン代数多様体です。
(2) 質問2について
全てあっています。
一つコメントするなら、
Z[x]は単項イデアル整域ですから、あるj(x)∈Z[x]があって(g(x) , h(x))=(j(x))と書けてしまいます。
具体的に j(x)を計算するにはg(x) , h(x)からユークリッドの互除法で最大公約多項式を求めればよいわけです。
以上、ご参考になればと思います。
この回答への補足
回答に対する質問です。
(1)
全てのf∈I とはどういうことですか?g(x,y)∈Z[x,y]のときイデアルI=(g(x,y))=g(x,y)Z[x,y]だから、あるh(x,y)∈Z[x,y]を用いてf=g・hとかけるはずです。任意のfで成り立つならhはZ[x,y]すべてを渡って成立するということですか?
また、φはx1,…,xkのk変数ではないのでしょうか?φ(xi)がよくわからないのですが…
(2)
回答ありがとうございます。ところで、Z[x]は単項イデアル整域(PID)でしょうか?kが体ならk[x]はユーグリッド整域なのでPIDでしょうが、Z[x]のイデアル(2,x)は単項イデアルになりえないのでZ[x]はPIDでないはずですが…
以上をお願いします。
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