化学反応における微分方程式

不可逆な化学反応X+Y->Zにおいて、単位時間あたりのZの増加率はX,Yの濃度の積に比例する（反応定数はα>0）時刻tのZの濃度をx(t)としたとき、x(t)の微分方程式を導き、x(t)を求める。ただしｔ=0においてX,Yの濃度はそれぞれNx,Ny(Nx>Ny), Zの濃度を0とする。

x(t)の微分方程式を導く際にXとYの濃度がわかっていないため導くことができません。どのようにしたらよろしいでしょうか。

No.6 ベストアンサー 回答者： okormazd 回答日時： 2013/05/05 23:03

質問の記号をそのまま使った方がいい。

時刻tのとき、Zの濃度をx(t)とするのだから、このときXとYの濃度は始めの濃度からx(t)だけ減っている、すなわちNx-x(t)、Ny-x(t)になっているはずでしょう。

だから、
dx(t)/dt=α(Nx-x(t))(Ny-x(t))

これは、変数分離で解ける。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2013/05/06 16:12

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2013/05/05 22:47

A No.1 が既に、

x(t) = Nx - z(t),
y(t) = Ny - z(t)
だと言ってるんだけど…
これを
z'(t) = α x(t) y(t)
へ代入したら、どうなる？
変数分離形だよね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2013/05/06 16:13

No.4 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2013/05/05 21:50

Zが増えるとX,Yはどうなるのか考えましょう。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/05/05 15:40

何をそう置いたんだか知らんが, そいつらの「tの式がわかっていない」からこそ「方程式」になるんじゃね～か? 逆に言えば, そいつらが t の関数としてわかっているんだったら, そもそも方程式にならないと思われる.

質問文の置き方が紛らわしいので記号を変えて「X, Y, Z の濃度をそれぞれ x(t), y(t), z(t)」としたときに, こいつらに対して成り立つ式を掛けるだけ書いてみたらどうだろうか.

この回答への補足

dz(t)/dt=αx(t)y(t)
dz(t)=αx(t)y(t)dtとなって両辺を積分するとどうなるでしょうか。

補足日時：2013/05/05 17:12

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/05/05 14:27

#1 と同じだけど, 「XとYの濃度がわかっていない」のなら変量とすればいい.

最終的に, そいつらが方程式に残らなきゃいいだけ.

この回答への補足

y(t)やz(t)とおいてもtの式がわかっていないと方程式は解けませんよね？

補足日時：2013/05/05 15:11

No.1 回答者： ohbacomeon 回答日時： 2013/05/05 14:21

＞不可逆な化学反応X+Y->Z

これって、独身男性1名と独身女性1名から、一組の夫婦ができる、離婚は認められない、みたいな。
初期値が判っていれば、売れ残りの数は、できあがった夫婦の数からわかるよね。

関係ないけど
＞Nx>Ny
絶対売れ残りが出るって…。