行列式の漸化式からの解の出し方

n(n > 2)次正方行列式の問題です。

|a b 0 0 0 0|
|c a b 0 0 0|
|0 c a b 0 0|
|0 0 c a b 0|
|0 0 0 c a b|
|0 0 0 0 c a|

※c, a, b が直線状に並んでいるn×n行列です。それ以外はすべて0。

これについての漸化式を、次のように出しました。（正誤不明）

Xn = a Xn-1 - bc Xn-2　… n, n-1, n-2 は添え字

「求めた漸化式について、a = 1, b = 1, c = 5が与えられた場合、
Xの値が1111となる最小のnを求めなさい。」

解説・答えが無いために困っています。
お願いします。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/06/05 13:37

漸化式は、そのとおり。

X[n+2] を第 1 行で余因子展開して、
b に掛かる小行列を、その第 1 列で余因子展開
すれば、質問文中の漸化式になる。

a = b = 1, c = 5 のときは、
X[n+2] = X[n+1] - 5 X[n],　(n≧1)
X[1] = 1,
X[2] = a^2 - bc = -4.

さて、X[n] = 1111 となる n を、どう求めるか。

線型漸化式だから、X[ ] の一般項は求まるが、
固有値が虚数になるので、扱いは面倒くさい。
今回は、たまたま答えの n が比較的小さいので、
コツコツ漸化を行って、

X[1] = 1,
X[2] = -4,
X[3] = -9,
X[4] = 11,
X[5] = 56,
X[6] = 1,
X[7] = -279,
X[8] = -284,
X[9] = 1111　　　←あ、n = 9 だったね。

…と解くのが、一番早いような気がする。

この解法に打って出るには、あらかじめ
n があまり大きくないことが判っていなければ無理だが、
特性方程式の解と係数の関係から
固有値の絶対値が √5 であることを見れば、
(√5)^n ≒ 1111 の解が n ≒ 8.7 であることから
10 かそこらの n で X[n] ≒ 1111 になりそうだと思い、
ひとつ X[10] まで漸化してみようか という話になる。
果たして、上記のように n = 9 が求まる。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/06/05 12:14

漸化式があってるかどうかは知らんけど, n が小さい方から順に計算していけばそのうち見つかるんじゃないの?