頂角が０に近づいていくときの正多角形の面積について

別の質問から派生した疑問なのですが、改めて質問させていただきます。正多角形をいわゆる一筆書き（仮に右回りとします）。正多角形の頂角がπに近くづいていくと円になることは理解できますが、逆に頂角が０に近づいて行くとき正三角形を過ぎていわゆる星型になってきますが、頂角が０に近づいた極限の正多角形の面積は０になるのでしょうか、あるいはπになるのでしょうか。星型の面積は紙に書いて切り抜いた時の図形とした場合を想像しています。頂角が小さくなると、一筆書きで真っ黒になってしますので、頂角がπになる時の円とちがって面積のイメージが得られないでいます。よろしくお願い申し上げます。

No.1 回答者： berokanda 回答日時： 2013/06/16 08:53

＞逆に頂角が０に近づいて行くとき正三角形を過ぎていわゆる星型になってきますが

星形だと０に近くありませんよ。
πに近い角と０に近い角が混在しています。

No.2 回答者： berokanda 回答日時： 2013/06/16 08:55

書き損じ失礼。

×πに近い角と０に近い角が混在しています。
○ 2πに近い角と０に近い角が混在しています。

この回答へのお礼

ご指摘感謝いたします。私の書き方がまずかったと思いますが、内側が鏡になっている円筒に小さな孔をあけ、そこから光を入れて反射させた時の光線が描くと考えられる図形です。いわゆる星型では頂点の数が５ですが、さらに頂角を小さくすれば頂点の数は増えていきます。極限で頂角は０になり、頂点の数は無限大になりませんか。

お礼日時：2013/06/16 11:02

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/06/16 09:45

A No.2 にある通り、その折れ線の「内側」を

星形と解釈すると、円周上の 0+ε 度の他に、
円の中心付近に 360-ε 度の頂点ができてしまい、
「正多角形」とは呼べなくなる。

円周上の頂点のみを持つ図形と解釈すると、
折れ線が自己交差を持ち、単純閉曲線でないから、
曲線の内部と外部の区別がない。
よって、「囲まれる面積」が定義できない。

この回答への補足

紙に描いたいわゆる星形を切り抜いたような図形で、頂角がそれより小さくん頂点の数はそれより多いような図形を考えております。No2さんのお礼欄に書かせていただいたようなイメージです。正多角形の定義はできないにしてもこのような図形の面積は考えられると思っております。

補足日時：2013/06/16 11:24

この回答へのお礼

ご教示感謝いたします。

お礼日時：2013/06/16 11:24

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2013/06/16 17:36

　「頂角が0に近づく」という捉え方は、大変筋が悪い。

「一筆書きで真っ黒になってします」なんて話では、大雑把過ぎるんです。

　というのは、たとえば頂角がπの1/(5√2)だとすると、いくら一筆書きを続けても図形が完成しません。ある頂点から出発して、元の頂点に戻って来るということがないからです。多辺形ができるためには、頂角はπの有理数倍であることが必要。
　となると、「頂角が0に近づく」ということを考えるためには、有理数を大きさの順に並べておいて、だんだん小さいやつを選んで行く、ということになります。これは大変ですよ？なぜなら、有理数は稠密に並んでいるんで、どんな有理数同士の間にも、中間の大きさを持つ有理数が無限個あるんですから。

　そこで、頂角を変えて行く、という考え方から一旦離れて、別の見方をすると良いでしょう。つまり、頂点の個数Nを決めたときにどうなるか、というところから話を始めればだいぶすっきり整理できるんです。

　頂点の個数Nを決めただけじゃ、図形はまだ定まりません。一筆書きで多辺形を描いたとき、図形の中心を何周したところで完成するのか、ということが異なります。たとえば正五角形の頂点を繋ぐ場合、隣の頂点をたどって行くと1周で出発点に戻って、出来るのは正五角形。頂点をひとつ飛ばしでたどって行くと2周で出発点に戻って、出来るのは★の形になる。そしてこれ以外にない。しかし、頂点が7つだと繋ぎ方がもうひとつ増えます。（もちろん、3つ飛ばしで繋ぐ、というやりかたですね。）すると、頂点が7つの場合には、仰るような図形が二通り存在する。もちろん、頂角が異なっています。

　そこで、問題を分割して考えます。

(1) 「頂点の個数N、いくつ飛ばしで繋ぐか(k個飛ばし)、ということと、頂角πrとの間には、どういう関係があるのか」という問題を考えてみることをお勧めします。つまり有理数rをNとkの関数r(N,k)として表現する。さらに、実は有理数rが分かればNとkが計算できるので、Nとkをrの関数N(r), N(k)として表すこともできます。

(2) ご質問で仰る「正多角形の面積」とは結局、「（普通の）正N角形の面積から、切れ込んでる二等辺三角形の部分N個の面積を差し引いたもの」、ということですね。ここで、上記の通り、一筆書きが何周で完成するのか（頂点をいくつ飛ばしでつないで行くのか）によって、「切れ込んでる二等辺三角形」の高さが異なります。正N角形の頂点をk個飛ばしで繋いだ場合の面積S(N,k)を計算することは、三角関数の応用問題です。

(3)するとご質問は、S(N(r), k(r))という(有理数rから面積Sへの)関数の収束を調べる問題に他なりません。
　しかし最初に述べた通り、そういうモノノミカタをすると多分、かなりメンドクサイ話になるんじゃないかなあ。質問者氏の実力に鑑みると、(1)(2)まででやめといた方が良さそうな気がします。

この回答へのお礼

三角関数の応用問題としても一定の値に近づいていくということはないのでしょうか。おっしゃられるまでもなく、自分の実力の程度は分かっているつもりなので、せめて結論だけでも伺いたいと思います。

お礼日時：2013/06/16 18:12

No.5 回答者： sunflower-san 回答日時： 2013/06/16 18:04

以下では、半径1の円に内接するような一筆書き(星型)正多角形を考えるものとします。

結論から言うと、頂角を小さくする、というだけではご質問の面積は一定値に収束しません。
しかし、頂角を小さくするとき、適当に条件をつけて小さくする系列を考えれば面積が収束する場合があります。

まず、頂角をθとします。θはどんな値でもいいわけではありません。一筆書きがいつかもとの頂点に戻ってくるためには、θはπの有理数倍でなければいけません。そこでθ＝aπ(aは正の有理数)とおきます。このとき、この(星型)正多角形は通常の正多角形と同様に言えば、2/(1-2a) 角形である、といえます。つまり星型正多角形として考えうるのは「2より大きな有理数」角形のみです。そこで、(2+ p/q) 角形を考えましょう。議論をややこしくしないため最初からp,qは共通の約数を持たないものとします。このとき、頂角は p/(p+2q) π になります。頂角を小さくする極限を考えるので、q → ∞ (「pと互いに素な整数の範囲で」どんどん大きな値にする)とすることになります。

実は、ご質問の面積の極限はpに依存します。

面積を計算するために、星型正多角形の尖っている点(頂点)と、それに隣接する凹んでいる点、多角形の中心、の3点を結んで出来る三角形(以下では"基本三角形"と呼ぶことにします)を考えると、星型正多角形とは、基本三角形とその鏡像の三角形それぞれ(p+2q)枚を張り合わせた図形であることが分かります。

さて基本三角形は最長辺が1です。また、長さ1の辺の両端点の角を、多角形の中心側をα、多角形の頂点側をβとおけば、それぞれ
α=π/(p+2q), β=pπ/(2(p+2q)) となっています。

このことから、三角関数の計算で最長辺に対する高さ h を求めると、
h = sin(α)sin(β)/sin(α+β) となり、
基本三角形の面積は、h/2 よってその鏡像の三角形も面積は h/2、結局星型多角形の面積は
(h/2+h/2)×(p+2q) = h(p+2q) となります。

そこで、ご質問の面積の極限は、

lim[q → ∞ ]{ (p+2q)sin(π/(p+2q),)sin(pπ/(2(p+2q)))/sin(π/(p+2q)+pπ/(2(p+2q)))}

となるわけですが、π/(p+2q)=tとおくと、この極限は

lim[t → 0]{π/t sin(t)sin(pt/2)/sin((1+p/2)t)}

と書き換えられ、さらに

lim[t → 0]{sin(t)/t} = 1であることを使うと、

この極限は、pπ/(p+2) となります。

よって、pの値次第で、極限はπ/3やπ/2や3π/5などになりますし、qに比べて緩やかながらpも無限に大きくする極限を取ればπになります。しかしこの結果から、「極限は0に近づくことはなく、少なくとも外接円の面積(π)の1/3の大きさになる」ということも分かります。

ちなみに、極限がπ/3に近づくパターンはp=1の場合、つまり頂角がπ/(2q+1)となるような星型正多角形でq→∞とした場合です。
これはいわゆる尖った五角形の星型(q=1の場合)を含む系列で、尖った七角形(q=2の場合)、尖った九角形(q=3の場合)、、、と続きます。

この回答へのお礼

ご教示を大切にさせていただきたいと思います。頂角がπに近づくほうはわかりやすい円になるのと対照的に難しいということがよくわかりました。

お礼日時：2013/06/16 18:46

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2013/06/16 18:28

一筆書きで星形になるためには、

突起の数が奇数でなくてはならない。
原点 O 中心、半径 1 の円を描き、
円周上に 2m+1 個の頂点 P[k] を等間隔に置く。
星形折れ線の自己交叉で、扇形 OP[0]P[1] に
含まれるものは、線分 P[0]P[m] と P[1]P[m+2]
の交点だけである。この点を Q と名づける。
星形の「内部」で OP[0]P[1] に含まれる部分は、
△OQP[0] と △OQP[1] からなる V 字形である。
星形は、これらと合同な小三角形 2(2m+1) 個
が集まってできている。

OP[0] = 1, ∠QOP[0] = π/(2m+1) だから、
OQ = r(m) と置くと、
△OQP[0] = (1/2)r(m)sin(π/(2m+1))。
よって、星形の面積 S(m) は、
S(m) = r(m)sin(π/(2m+1))(2m+1)。
よく知られた lim[x→0](sin x)/x = 1 を使うと、
lim[m→∞]S(m) = πlim[m→∞]r(m) と解る。

Q の座標は計算できるから、r(m) を
真面目に求めることもできるが、図形的には、
lim[m→∞]r(m) = 0 はほぼ明らかである。

要するに、面積の極限は 0。
「内部」の定義が釈然としないけれど。

この回答への補足

お礼欄の等式の右辺にπをつけることをうっかり忘れました。

補足日時：2013/06/16 19:03

この回答へのお礼

いただいたご説明をできる限り理解できるように致します。頂角の大きさ（ｙ）と頂点の数（ｘ）が、ｙ＝（（ｘ－２）/ｘ）という中学生並みの双曲線で示されると思い、迷い始めたようです。ｘが３を超えて２に近づいて行くときは、ｙがπに近づいてときよりも複雑なことがあるのだと自分なりに納得できました。

お礼日時：2013/06/16 19:01

No.7 回答者： berokanda 回答日時： 2013/06/16 21:17

#2ですが、星形正多角形のことですかね？

互いに素な自然数m,n(m>2,m>n)を用いて、円周上に
等間隔にm個の点を置き、n個置きに線分でつなげて
いくと一筆書きできます。mは偶数でも奇数でもいい
です。これはn=1のときは普通の正m角形になります。

図はその様子を描いたものです。

一つの頂点（ここでは0と書いています）を端点にもつ
辺のもう一つの端点はnと書いてある点とm-nと書いて
ある点になります。

隣の頂点についても同じことが言えますので、結局
太線で示した四角形の面積のm倍を質問者さんは
多分想定されていると思われます。

中心と0と書いてある点とnと書いてある点のなす角
は(π/2)(1-2n/m)となります。

0と書いてある点と中心と1と書いてある点とのなす
角は2π/mとなります。

三角関数を使って計算すると、
msin(π/m)cos(nπ/m)cos((n-1)π/m)
となります。

極限というのがどういう意味で言っているのかわかり
ませんが、nを固定してm→∞にすると、これはπつま
り頂点が乗っている円の面積に収束することがわかり
ます。また、nと書いてある点とm-nと書いてある点と
が隣り合っている場合、即ちm=2n+1の場合もπにな
ります。切れ込みの部分のm個の和を取っても0に収束
してしまうというのは直感的には不思議な感じですね。

この回答へのお礼

私の理解の及ぶ限り勉強させていただきます。

お礼日時：2013/06/17 05:25

No.8 回答者： berokanda 回答日時： 2013/06/16 21:21

#7の図です。

この回答へのお礼

勉強させていただきます。

お礼日時：2013/06/17 12:52

No.9 回答者： berokanda 回答日時： 2013/06/16 21:25

#6,#7です。

何度もすみませんが、極限を取るときはmとnとが
互いに素という関係を保ちながら極限操作しなけ
ればなりません。

この回答へのお礼

ご追加感謝いたします。

お礼日時：2013/06/17 12:51

No.10 回答者： berokanda 回答日時： 2013/06/16 21:26

#7,#8の間違いです。

失礼しました。