頂角が０に近づいていくときの正多角形の面積について

別の質問から派生した疑問なのですが、改めて質問させていただきます。正多角形をいわゆる一筆書き（仮に右回りとします）。正多角形の頂角がπに近くづいていくと円になることは理解できますが、逆に頂角が０に近づいて行くとき正三角形を過ぎていわゆる星型になってきますが、頂角が０に近づいた極限の正多角形の面積は０になるのでしょうか、あるいはπになるのでしょうか。星型の面積は紙に書いて切り抜いた時の図形とした場合を想像しています。頂角が小さくなると、一筆書きで真っ黒になってしますので、頂角がπになる時の円とちがって面積のイメージが得られないでいます。よろしくお願い申し上げます。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2013/06/16 17:36

　「頂角が0に近づく」という捉え方は、大変筋が悪い。

「一筆書きで真っ黒になってします」なんて話では、大雑把過ぎるんです。

　というのは、たとえば頂角がπの1/(5√2)だとすると、いくら一筆書きを続けても図形が完成しません。ある頂点から出発して、元の頂点に戻って来るということがないからです。多辺形ができるためには、頂角はπの有理数倍であることが必要。
　となると、「頂角が0に近づく」ということを考えるためには、有理数を大きさの順に並べておいて、だんだん小さいやつを選んで行く、ということになります。これは大変ですよ？なぜなら、有理数は稠密に並んでいるんで、どんな有理数同士の間にも、中間の大きさを持つ有理数が無限個あるんですから。

　そこで、頂角を変えて行く、という考え方から一旦離れて、別の見方をすると良いでしょう。つまり、頂点の個数Nを決めたときにどうなるか、というところから話を始めればだいぶすっきり整理できるんです。

　頂点の個数Nを決めただけじゃ、図形はまだ定まりません。一筆書きで多辺形を描いたとき、図形の中心を何周したところで完成するのか、ということが異なります。たとえば正五角形の頂点を繋ぐ場合、隣の頂点をたどって行くと1周で出発点に戻って、出来るのは正五角形。頂点をひとつ飛ばしでたどって行くと2周で出発点に戻って、出来るのは★の形になる。そしてこれ以外にない。しかし、頂点が7つだと繋ぎ方がもうひとつ増えます。（もちろん、3つ飛ばしで繋ぐ、というやりかたですね。）すると、頂点が7つの場合には、仰るような図形が二通り存在する。もちろん、頂角が異なっています。

　そこで、問題を分割して考えます。

(1) 「頂点の個数N、いくつ飛ばしで繋ぐか(k個飛ばし)、ということと、頂角πrとの間には、どういう関係があるのか」という問題を考えてみることをお勧めします。つまり有理数rをNとkの関数r(N,k)として表現する。さらに、実は有理数rが分かればNとkが計算できるので、Nとkをrの関数N(r), N(k)として表すこともできます。

(2) ご質問で仰る「正多角形の面積」とは結局、「（普通の）正N角形の面積から、切れ込んでる二等辺三角形の部分N個の面積を差し引いたもの」、ということですね。ここで、上記の通り、一筆書きが何周で完成するのか（頂点をいくつ飛ばしでつないで行くのか）によって、「切れ込んでる二等辺三角形」の高さが異なります。正N角形の頂点をk個飛ばしで繋いだ場合の面積S(N,k)を計算することは、三角関数の応用問題です。

(3)するとご質問は、S(N(r), k(r))という(有理数rから面積Sへの)関数の収束を調べる問題に他なりません。
　しかし最初に述べた通り、そういうモノノミカタをすると多分、かなりメンドクサイ話になるんじゃないかなあ。質問者氏の実力に鑑みると、(1)(2)まででやめといた方が良さそうな気がします。

この回答へのお礼

三角関数の応用問題としても一定の値に近づいていくということはないのでしょうか。おっしゃられるまでもなく、自分の実力の程度は分かっているつもりなので、せめて結論だけでも伺いたいと思います。

お礼日時：2013/06/16 18:12

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/06/16 09:45

A No.2 にある通り、その折れ線の「内側」を

星形と解釈すると、円周上の 0+ε 度の他に、
円の中心付近に 360-ε 度の頂点ができてしまい、
「正多角形」とは呼べなくなる。

円周上の頂点のみを持つ図形と解釈すると、
折れ線が自己交差を持ち、単純閉曲線でないから、
曲線の内部と外部の区別がない。
よって、「囲まれる面積」が定義できない。

この回答への補足

紙に描いたいわゆる星形を切り抜いたような図形で、頂角がそれより小さくん頂点の数はそれより多いような図形を考えております。No2さんのお礼欄に書かせていただいたようなイメージです。正多角形の定義はできないにしてもこのような図形の面積は考えられると思っております。

補足日時：2013/06/16 11:24

この回答へのお礼

ご教示感謝いたします。

お礼日時：2013/06/16 11:24

No.2 回答者： berokanda 回答日時： 2013/06/16 08:55

書き損じ失礼。

×πに近い角と０に近い角が混在しています。
○ 2πに近い角と０に近い角が混在しています。

この回答へのお礼

ご指摘感謝いたします。私の書き方がまずかったと思いますが、内側が鏡になっている円筒に小さな孔をあけ、そこから光を入れて反射させた時の光線が描くと考えられる図形です。いわゆる星型では頂点の数が５ですが、さらに頂角を小さくすれば頂点の数は増えていきます。極限で頂角は０になり、頂点の数は無限大になりませんか。

お礼日時：2013/06/16 11:02

No.1 回答者： berokanda 回答日時： 2013/06/16 08:53

＞逆に頂角が０に近づいて行くとき正三角形を過ぎていわゆる星型になってきますが

星形だと０に近くありませんよ。
πに近い角と０に近い角が混在しています。