F[X]は体F上の一変数多項式環とする。記号の簡略化のため、多項式f(X)∈F[X]が
生成するF[X]のイデアルをJ_fと表すことにする。
(a)F[X]の任意のイデアルは一元で生成される。
(b)f(X)∈F[X]がF上既約で、Fのある拡大体Lの元αについてf(α)=0であるとする。
このとき、F(α) =~_F F[X]/J_fである。
(=~_F はFの元は動かさないで=~であるとする。)
(1)
(b)においてF上既約という仮定を省くと、どのようなことが起こるか。例でもよい。
(2)
多項式f(X),g(X)∈F[X]についてJ_f = J_gとなるための必要十分条件を求めよ。
必要条件を考え、それが十分条件にもなっていることを確認せよ。
(3)
f(X),g(X)∈F[X]に対して標準的な環準同型
φ:F[X]→F[X]/J_f+F[X]/J_g , γ→(γ+J_λ, γ+J_μ)
が考えられる。
もし、f(X),g(X)が互いに素(つまり、これらが生成するイデアルがF[X]に一致する。)
ならば、φが全射であることを示せ。また、そのとき、準同型定理から得られる同型を求めよ。
※(1+J_λ,0), (0,1+J_μ)∈F[X]/J_λ+ F[X]/J_μに移る元が存在すれば、全射がわかる。
ただし、Fの単位元を1とした。
全然わかりません。わかる方いたらお願いします。
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