線積分の経路依存性　ベクトル解析学

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質問者：Trafalgar_law
質問日時：2013/08/07 21:46
回答数：2件

(0,0)を始点とし(1,2)を終点とするような３通りの経路C1,C2,C3を考える。

ただし、C3は放物線 y=x^2に沿った経路とする。

次のベクトル場に対し、3通りの線積分
∫_Ci V・dr (i=1,2,3)を求めよ。（V , r はベクトルです。）

（１）　V=(x,y)
（２） V=(-y,x)

もし、この問題を解説できる方がいらっしゃいましたら
ご協力よろしくお願いいたしますm(__)m

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： info22_
回答日時：2013/08/08 07:52

問題ミスでは？

>ただし、C3は放物線 y=x^2に沿った経路とする。
の放物線は「y=2x^2」では？

そうだとして
C1=C11+C12,C11:(0,t)(t=0→2),C12:(t,2)(t=0→1)
C2:(t,2t)(t=0→1)
C3:(t,2t^2)(t=0→1)
とすると

(1)
∫_C1 V・dr=∫_C11 ydy+∫_C12 xdx=∫[0→2] tdt+∫[0→1] tdt
=[(t^2)/2][0→2]+[(t^2)/2][0→1]=2+(1/2)=5/2
∫_C2 V・dr=∫_C2 (xdx+ydy)=∫[0→1] (tdt+2t*2dt)
=∫[0→1] 5tdt=[(5/2)t^2][0→1]=5/2
∫_C3 V・dr=∫_C3 (xdx+ydy)=∫[0→1] (tdt+2(t^2)4tdt)
=∫[0→1] (t+8t^3)dt=[(1/2)t^2+2t^4][0→1]=(1/2)+2=5/2

　経路依存性はなしです。

(2)
∫_C1 V・dr=∫_C11 0dy+∫_C12 (-y)dx=0+∫[0→1] (-2)dt
=[-2t][0→1]=-2
∫_C2 V・dr=∫_C2 ((-y)dx+xdy)=∫[0→1] ((-2t)dt+t*2dt)
=∫[0→1] 0dt=0
∫_C3 V・dr=∫_C3 ((-y)dx+xdy)=∫[0→1] (-2(t^2)dt+t(4t)dt)
=∫[0→1] 2(t^2)dt=[(2/3)t^3][0→1]=2/3

この場合は経路依存性ありです。