No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>vを消去してuの微分方程式に書き換えたところ
d4y/dx4(u)+(4a^2)(d4y/dx4)(u)=0
間違いです。そもそもどこからyが出てくるのですか。
u,vはxのみの関数のようなので偏微分そのものが無意味です。
微分を基礎から見直してください。
正しくは最初の式をxで2回微分して
d^4u/dx^4+2a^2d^2v/dx^2=0
d^2v/dx^2に2番目の式を代入して
d^4u/dx^4+4a^4u=0
これは4階の斉次微分方程式。解をe^(px)とおいて
上の式に代入します。この辺は微分方程式の教科書を見て納得してください。
p^2=±2ia^2(iは虚数単位)
p=±(1±i)a
sin,cosを用いて書くと
u=e^ax(c1sin(ax)+c2cos(ax))+e^(-ax)(c3sin(ax)+c4cos(ax))
a>0とすると
x→±∞でuが0のためにはe^axがかかる部分は不適よって
u=e^(-ax)(c3sin(ax)+c4cos(ax))
du/dx=-ae^(-ax)(c3sin(ax)+c4cos(ax))+e^(-ax)(ac3cos(ax)-ac4sin(ax))
x=0では
du/dx=-ac4+ac3=0
ゆえに
c3=c4=c
du/dx=-2cae^(-ax)sin(ax)
vの式から
v=(-1/2a^2)d^2u/dx^2
d^2u/dx^2=-2ca^2e^(-ax)[sin(ax)+cos(ax)]
v=(-1/2a^2)d^2u/dx^2=ce^(-ax)[cos(ax)-sin(ax)]
dv/dx=c[-ae^(-ax)[cos(ax)-sin(ax)]+ce^(-ax)[-asin(ax)-acos(ax)]
=-2ace^(-ax)cos(ax)
x=0でdv/dx=-2ac=-τ
c=τ/2a
以上より
u=(τ/2a)e^(-ax)(sin(ax)+cos(ax))
v=(τ/2a)e^(-ax)[cos(ax)-sin(ax)]
この回答へのお礼
お礼日時:2013/08/13 18:28
ご回答ありがとうございました。
申し訳ありません。あれは書き間違いです。
最初は補助方程式のh^4+1=0の解き方がわからなかったです。
その解き方に気づいたら一気に解けました。
大変助かりました。
ありがとうございました。
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