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単位球上に、大円で切り取られる正方形ABCDを考えます。弧ABの長さは、

球の内部の弦ABをaとすると、2arcsin(a/2)であらわせます。

このとき球面上の正方形ABCDの面積Sをaで表して下さい。

また、単位球面上の四角形ABCDの面積は∠A+∠B+∠C+∠D-2π

となるようですが、正方形の場合∠A~∠Dはどのようになるのでしょうか?

それぞれπ/2だとすると、面積は0になってしまいます。

よろしくお願いします。

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A 回答 (5件)

問いとしては


『単位球上に4点ABCDがあり、かつABCDは同一平面上にあって平面四角形ABCDは正方形をなす。
平面四角形ABCDの辺の長さをaとするとき、球面四角形ABCDの面積をaを使って表せ』
という内容ですよね…。

ABCDが単位球に内接する立方体の1面である場合、角Aは2/3πで、球面四角形ABCDの面積は2/3πとなるわけで。


~~~
球面四角形ABCDの1辺をP、対角線の弧の長さAC=BD=2Qとし、ACとBDの交点をEとすると、球面三角形の正弦定理から
 sinE/sinP=sin(A/2)/sinQ
が成り立ちます。
角Eは等辺球面四角形の対角線が交わる角度ですから、π/2です。
従って上式は
 sin(π/2)/sinP=sin(A/2)/sinQ
 sinQ/sinP=sin(A/2)
となり、
 A=2・arcsin(sinQ/sinP)
 半球を超えないとするなら角Aの取りうる範囲はπ>A>π/2ですね。

球面四角形の面積Sは4A-2πですから、
 S=8・arcsin(sinQ/sinP)-2π

最後までいってないですけど、P,Qともにaから計算できますから、これで計算できませんかね?
やっつけ仕事で済みません。

この回答への補足

私の計算した結果とほぼ同じようです。ありがとうございます。sinQ/sinPはそれほど面倒ではないようです。もう少しすっきりした形なると思うのですが。

補足日時:2013/09/22 11:02
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この回答へのお礼

今のところこれがベストだと思いましたので、ベストアンサーと致します他のみなさんもありがとうございました。

お礼日時:2013/09/22 11:03

No.3です。


弦ABを弧ABと勘違いしていました。
従って
cos(斜辺) = cos(2arcsin(a/2)) = 1-2(a^2)/2 = 1-(a^2)/2
なので、すべての「cos a」を「1-(a^2)/2」に書き換えてください。
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この正方形の球面上の中心を P とすると


△ABPは球面直角二等辺△で、面積は S/4 になります。
球面直角△では cos(斜辺) = cot(∠PAB)・cot(∠PBA) であり、
二等辺だから ∠PAB=∠PBA= Θ とおけば cos(a)=(cot Θ)^2 …… (1) で
面積は ∠P+2Θ-π = 2 Θ - π/2、 4倍して S=8Θ-2π。
(1) から Θ= arccot(√(cos a)) = π/2 - arctan(√(cos a))、 
従って、S= 8(π/2 - arctan(√(cos a))) - 2π
 = 2π - 8・arctan(√(cos a))。
4つの角はそれぞれ2Θになっています。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2013/09/22 11:00

球面幾何学において∠Aとは、球表面の点A,B,Cにおける円弧ABの接線と円弧ACの接線のなす角であり、平面角∠BADとは異なります。

平面幾何学とは違い、球面図形は内角の和が一意に定まらないので、「正方形」の内角=90度とはなりません。
伊能忠敬さんもこれで苦労しました(^^;

例えば、球を赤道と0度と90度の経線で8分割した状態の球面三角形を見ると、北極から見ると内角はπ/2、分割した罫線と赤道の交点を中心にしてみると、これまた内角はπ/2、つまり内角の和は3π/2になります。球面幾何学においては平面幾何学の常識(三角形の内角の和は180度など)は通用しないのです。

~~~
まず、単位円上の大円2つの交わりで形作られる球面2角形(目のような形。ミカンの一房の表皮側部分のイメージ)の内角をaとすると、その面積Sとの間には2a=Sという関係が成り立ちます。
証明はベクトルやら描くの大変なんで、 「球面幾何学、内角」などをキーワードに検索して、参考リンクのようなサイトをご参照ください。

大円を1つ足した球面3角形の場合、内角をa,b,cとすると面積Sはとの間にS=a+b+c-πが成り立つ。
更にもう一つ足した球面4角形の場合、内角をa,b,c,dとすると面積Sはとの間にS=a+b+c+d-2πが成り立つ(対角線を入れると、球面三角形2つとして考えることが出来る)。

参考URL:http://sshmathgeom.private.coocan.jp/geometryons …

この回答への補足

前段の部分はわたしも理解しています。球内部の正方形の一辺で球面上の正方形の面積を表現できるかどうかが知りたいのです。例えば、単位球の大円上に正方形を作ると、一辺は√2になってこのとき球面上の正方形ABCDというのはあきらかに半球ですから2πになります。この正方形を球の内側に縮小して一辺をaにしたときの球面の面積をaで表したいのです。もちろんこのとき球面上では内角の和は2πにはなりません。

補足日時:2013/09/18 16:19
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この回答へのお礼

丁寧に指摘していただきありがとうございました。

お礼日時:2013/09/18 15:39

辺の一つを赤道に例えると、それと直角な線は子午線に当ります。


二本の子午線に直角な線は赤道しかありませんから、面積は0ですね。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2013/09/18 15:40

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P(0)=1
P(n)=P(n-1)+S(n-1)  (n≧1)
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