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No.2
- 回答日時:
(1) αを複素数とするとき、1^αは、一意的に定まらず、exp(2nπiα) のどれかである、とするのが普通だと思います。
ただし、n は、任意の整数です。(2) 一般に、x と αが複素数で x≠0 のとき、x^αは、普通 exp(αlog(x)) で定義されます。そして、複素数の世界では、log(x) が一意的に定まらないため、x^αも一意的に定まらないのです。ちなみに、log(1) = 2nπi なので、(1)が導かれます。
(3) で、微妙に間違えやすいことですが、「x^αが一意的に定まらない」というのは、「 x やαが実数か虚数か」で決まることではなく「実数の世界で考えているか複素数の世界で考えているか」で決まることです。
(4) たとえば、1^0.5 は、実数の世界で考えると 1 ですが、複素数の世界で考えると1 又は -1 です。
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