連立方程式の解と、元の方程式の解について

連立方程式の解について

y=2x-2 ・・・・・・・・・・(1)
y=－x+4・・・・・・・・・(2)


(1)に(2)を代入して
2x-2=-x+4
2x+x=4+2
3x=6
3x-6=0..........(3)


この式(3)の解が
(1)と(2)の交点のxになる理由がうまく理解できなかったのですが

これは
「3x-6=0」となる前の「2x-2= -x+4」 という式が「直線2x-2のyと-x+4のyが同じになる時」ということを表していて
この式から求められるxが
直線2x-2のyと直線-x+4のyが同じになる時のxの値」を表しているから
交点のxになる　ということでしょうか？

もしそうであれば
2x-2=0で求められるxは
「直線2x-2のy が 直線0xのy と同じになる時のxの値」

ということでしょうか?
よろしくお願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： Nakay702 回答日時： 2013/09/24 20:48

「連立」の意味がよく分かれば、疑問点は晴れると思います。

y=2x-2 …… (1)
y=－x+4 …… (2)

方程式（１）は、傾きが＋２で、切片が－２〔つまり、（０，－２）を通る〕の直線ですね。そして、この式を満たす点は（０，－２）（１，０）（２，２）（３，４）…と無限にあります。

同じように、方程式（２）は、傾きが－１で、切片が＋４〔つまり、（０，＋４）を通る〕の直線ですね。そして、この式を満たす点は（０，４）（１，３）（２，２）（３，１）…と、これも無限にあります。

方程式（１）も（２）も、個別に満たす点はいっぱいありますが、この両方を同時に満たす点は１つしかありません。すなわち、それはこの両直線が交わるところです。

それを求めるためにはどうするかと言うと、方程式（１）と（２）とを「連立」させるわけです。連立させる方法は、代入法や加減法がありますが、どれで解いても結果は同じはずです。

質問者様は代入法で解いたので、ここでは加減法でやってみましょう。
(1)から(2)を引くと、
0=(2x-2)-(-x+4)
3x-6=0
x=2

と、このように同じ解が出ます。これを（１）に代入すれば、
y=2
が得られます。

つまり、座標（２，２）が、方程式（１）と（２）とを「連立」させて解いた解である。すなわち、方程式（１）と（２）を同時に満たす点である。さらにすなわち、両直線の交点である、ということになるわけです。

以上、ご回答まで。

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2013/09/24 19:55

＞ これは

＞ 「3x-6=0」となる前の「2x-2= -x+4」 という式が」
＞ 「直線2x-2のyと-x+4のyが同じになる時」ということを表していて
＞ この式から求められるxが
＞ 直線2x-2のyと直線-x+4のyが同じになる時のxの値」を表しているから
＞ 交点のxになる　ということでしょうか？

ちょっと待った。
計算に苦手意識のある人は、そういう風に「意味」を追求しがちですが、
あまりオススメの考え方ではありません。
方程式を同値性を保って変形してゆき、(x=定数 かつ y=定数) という
式形へ持ってゆくだけだ…と考えたほうがいい。
代数の計算は、意味ではなく、形式で進めてゆくべきものです。

No.4 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2013/09/24 18:12

少し考え方が逆になっているようなので

連立方程式の前に、それぞれの方程式について理解を深めておきましょう。
方程式、この場合は関数とは、ふたつの未知数の間の関係を示す物です。
　
y=2x-2 ・・・・・・・・・・(1)
は、y+2 = 2x と変形できて、(y+2)がxの２倍に比例すると言う意味です。
これを分かりやすく、x横軸y縦軸のグラフにすると、右肩上がりの直線で表されます。x=0,すなわちy軸との交点は、(0,-2)

【重要】二つの式が互いに独立しているとき
　xの値(α)とそれによって決定されるyの値(β)が同じになるところがあるということは、グラフで表せば平行ではなく、一点で交差していることを示します。すなわち、点(α,β)で両方の式が共に成り立つというです。

★ここからが重要!!
　もし両方の式が同時に成り立つ点があるとすると、そのときのxの値とyの値は、両方の式で同じにならなければならない。
　これがあるから、連立方程式が解けるのです。

　そう考えると、どのように手法で解いても答えは出るはずです。
　数学への興味はすばらしい物がありますね。しかし、以前の質問からずうっと心配なのですが、数(すう)に対する基本的な概念が出来ていないようです。今は、それで何とか先に進めますが、将来、壁に突き当たるような気がします。

この様な解き方もあります。
y=2x-2 ・・・・・・・・・・(1)
y=－x+4・・・・・・・・・(2)
変形して
　-2x + y = -2
　　x + y =　4
x,yの位置は決まったので
　-2　 1 = -2
　 1　 1 =　4　　(1)式を引く・・
　　　　　　　1　 1 =　4
　　　　　 -)-2　 1 = -2
　　　　　　￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　3　 0 =　6
　-2　 1 = -2
　 3　 0 =　6　×(1/3)

　-2　 1 = -2　　2倍した(2)式を加える
　 1　 0 =　2

　 0　 1 =　2
　 1　 0 =　2
よって
　　　 y = 2
　 x　　 = 2

No.3 回答者： sirayaki 回答日時： 2013/09/24 17:39

　先般、同じような質問がありました。

今回は、意味を簡単に説明しておきます。
・直線の交点の座標から見る
(1)の直線の上にある点の座標( x, y )は必ず直線上にある点だということです。(2)も同様です。この2つの交点は、同じ座標の点であるといえます。

・連立方程式から見る
　(1), (2)式を連立方程式とみれば、両方の式を満足させるx, y の値が解になります。

　よって、直線の式の交点の座標＝連立方程式の解と考えてよい。詳細は、NHK高校生講座数学IIのURLで「学習メモpdf」を参考に理解を深めてください。http://www.nhk.or.jp/kokokoza/radio/r2_math2/arc …

No.2 回答者： Masami_Fujii 回答日時： 2013/09/24 17:20

計算式は小学生レベルですが、その式が意味するところに疑問を持てるのはいい事です。

まず、（１）のグラフはxとyが式の通りの関係を持つ点の集合体なのです。
それが直線にたまたまなっているだけの事です。（２）についても同じ事です。
ただ、（１）と（２）を同時に満たす点が一つなのはグラフを描けば明白なように、
確かに存在します。

まあ、それだけの事やね。

＞＞もしそうであれば
2x-2=0で求められるxは
「直線2x-2のy が 直線0xのy と同じになる時のxの値」

ここだけ正確さが欠けるので、熟慮を求めます。

No.1 回答者： 178-tall 回答日時： 2013/09/24 16:02

>2x-2=0で求められるxは　「直線2x-2のy が 直線0xのy と同じになる時のxの値」　ということでしょうか?

その通り！