数学（物理）の問題です

鉛直投げ上げで、発射点から最高地点までの距離y=Vot・1/2gt^2と、t秒後の速度Vt=Vo-gtの２つの公式を使って問題を解くのですが、解き方が分かりません。
g=9.8です。
地上9.8mの高さから小球を鉛直上方に初速度21m/秒で発射した。
１、最高点に達するまでの時間
２、発射点から最高点までの高さ
３、小球が地面に達するまでの時間
をそれぞれ求めなさい。という問題なのですが、答えはそれぞれ（2.1sec., 23m, 4.7sec.)となっています。解き方を教えてください。あと、３について、距離y=-9.8というのを使って解く方法が一番早いそうです。

解答よろしくお願いします。　

No.6 ベストアンサー 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/01/20 22:37

No. 3 です。

地上 9.8m の高さから投げ上げたのですね
読み落としてました。ごめんなさい
（３） を間違っちゃったので、訂正します

重力は物体に常に下方にかかり、下へ下へ加速され、

初速 Vo で上に投げても、t 秒後には Vt ＝ Vo － gt

となります

その間に上に進む距離は　Vt ＝ Vo - gt を t について
積分し、

y ＝ Vo t - 1/2 g t^2 ＋ C

ｔ ＝ 0 の時、y ＝　0　だから C ＝　0

y ＝ Vo t - 1/2 g t^2 となっただけです

問題というより、重力の法則そのものを書いてるだけです

（１）

y ＝ Vo t - 1/2 g t^2

　＝ -1/2 g （ t - Vo / g）^2 ＋ Vo^2 / 2g

とグラフを描く時と同様に普通に変形すると、

t =Vo / g　の時、y は最大値 Vo^2 / 2g となることがわかります

Vo ＝ 21、g ＝ 9.8 を代入してやると、

t ＝ 21 / 9.8 ＝ 2.12857．．． ≒ 2.1 秒

（２） 最高点は

y ＝ Vo^2 / 2g ＝ 21^2 / （2×9.8） ＝ 22.5m ≒ 23m

（３） y は地上 9.8m の 発射点からの距離ですので、
　　　小球が地面に達するのは、y ＝ －9.8 の時です

　　　-Vo t - 1/2 g t^2 ＝ －9.8
　　　－21 t － 1/2 ・9.8 t^2 ＝ －9.8

　　　これを解いて、t ≒ 2.14 ± 2.57
　　　t > 0 なので、t ≒ 4.71

【答え】
１．　2.1 秒
２．　22.5m
３．　4.7秒

この回答へのお礼

ありがとうございます。式だけでなく、説明も加えられていて分かりやすかったです(*^◯^*)

お礼日時：2014/01/21 19:55

No.7 回答者： KEIS050162 回答日時： 2014/01/21 11:41

高校生の方でしょうか？

既に回答は出ているのですが、等加速度運動のもっとも典型的な例題なので、教科書にそのままの解法が書いてあります。
”公式を使って”とおっしゃているので、公式は理解されているのに解き方が分からないというのがちょっと心配なので、老婆心ながらくどくどと書かせていただきました。

分からないというのは、
■公式を使って方程式は立てられるが、その解法が分からない
■方程式は解けるが、公式を使ってどういう方程式を立てるか分からない
のどちらでしょうか？
前者であれば、中学時代の一次方程式、二次方程式の解法を復習する必要があります。（まさかそんなことはないと思いますが）

後者は、公式に使われている記号と、公式の意味と、その関数が表すグラフと、
実際に小球がどういう運動をするか、ということをイメージ出来ていないと、
単に公式を丸暗記して数値を代入する、ということを今後も延々と繰り返し、やがて行き詰ると思います。
あと単位も重要なポイントとなりますので、定義には必ず単位をつけた方がより分かり易いと思います。

（これらはすべて教科書もしくは参考書などに詳しく図解して書いてあるので、ここでは省きます。）

一応、解説上下記の様に　定　義　します。
初速　　　　　 V0　(m/s) [=21m/s]
初期の高さ　　　　　　Y0 (m) [=9.8m]　　　　　　
重力加速度　　　　　 g (m/s^2) [=9.8m/s^2]
速度　　　　　　 V(t) =V0 - gt　(m/s)
鉛直方向の高さ Y(t) = Y0 + V0t - 1/2gt^2 (m)
※鉛直方向の高さは、初期の高さ＋変位量として定義しました。

以上を踏まえて、設問の意味を捉えれば、
上向きに、ある初速で投げ上げられた小球が重力加速度の影響で減速（下向きに加速）し、やがて落ちていくのですから、その過程で速度が０m/sになる時があり、この時が最高地点（それより上向きに変位しない点）となります。
また、初期の高さは9.8mの位置ですから、そのまま下向きに加速しながら落下し、やがて地面に落ちる、即ち高さが０ｍになります。
それを踏まえて、公式に当てはめれば、

１）最高地点に到達する時間
V(t)=0　となる時刻 t (s)

２）最高地点
上の１）の時の時刻　t　(s) における　Y(t) (m)

３）小球が地面に到達する時間
Y(t) = 0 (m) となる、時刻 t (s)

ということが理解出来るかと思います。
あとは単に方程式を解法するだけなので、中学レベルの数学で十分です。

ご参考に。

この回答へのお礼

この問題は、数学の二次関数の時間に発展問題として出されたもので、公式も満足に理解できていないような状態で解けと言われたものです。中学です
わかりやすい公式の説明ありがとうございました。

お礼日時：2014/01/21 19:54

No.5 回答者： yyssaa 回答日時： 2014/01/20 22:07

＞yを上方への距離とすると、gは下向きなので、

d^2y/dt^2=-g、
v(t)=dy/dt=∫(-g)dt=-gt+C、初速v(0)=C=v0とすると
v(t)=-gt+v0
y(t)=∫v(t)dt=∫(-gt+v0)dt=-gt^2/2+v0t+D
t=0でy(0)=0、すなわち発射点の高さを0とするとy(0)=Dから
y(t)=-gt^2/2+v0t・・・・・(1)
最高地点ではv(t)=0だから最高地点までに要する時間は
v(t)=-gt+v0=0からt=v0/g・・・・・(2)
最高地点までの距離はy(v0/g)=-g(v0/g)^2/2+v0(v0/g)
=v0^2/2g・・・・・(3)
１、最高点に達するまでの時間
初速度21m/秒だから(2)よりt=21/g=21/9.8≒2.14(sec)
２、発射点から最高点までの高さ
(3)よりy(t)=v0^2/(2g)=21^2/(2*9.8)=22.5(m)
３、小球が地面に達するまでの時間
最高点から落ちるときは初速0であり、落ちる距離は9.8+22.5=32.3(m)
だから(1)でv0=0としてy(t)=-gt^2/2=-32.3より
t=√(64.6/g)=√(64.6/9.8)≒2.57
最高点に達するまでの時間2.14を加えて2.57+2.14=4.71(sec)

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2014/01/21 19:56

No.4 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/01/20 22:02

なんで No.1、No.2 さんの 3. の答え、4.7 秒になるの？

4.3 秒のミスタイプとばかり思ってたｗ

No.3 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/01/20 21:44

これ、基本中の基本問題です

重力は物体に常に下方にかかり、下へ下へ加速され、

初速 Vo で上に投げても、t 秒後には Vt ＝ Vo － gt

となります

その間に上に進む距離は　Vt ＝ Vo - gt を t について
積分し、

y ＝ Vo t - 1/2 g t^2 ＋ C

ｔ ＝ 0 の時、y ＝　0　だから C ＝　0

y ＝ Vo t - 1/2 g t^2 となっただけです

問題というより、重力の法則そのものを書いてるだけです

（１）

y ＝ Vo t - 1/2 g t^2

　＝ -1/2 g （ t - Vo / g）^2 ＋ Vo^2 / 2g

とグラフを描く時と同様に普通に変形すると、

t =Vo / g　の時、y は最大値 Vo^2 / 2g となることがわかります

Vo ＝ 21、g ＝ 9.8 を代入してやると、

t ＝ 21 / 9.8 ＝ 2.12857．．． ≒ 2.1 秒

（２） 最高点は

y ＝ Vo^2 / 2g ＝ 21^2 / （2×9.8） ＝ 22.5m ≒ 23m

（３） 小球が再び地面に戻ってくる時間は

y ＝ Vo t - 1/2 g t^2
＝ t （ Vo - 1/2 gt） ＝ 0

を解いて、t ＝ 0 と t ＝ 2 Vo / g　のうち、

t ＝ 0 は投げた時、t ＝ 2 Vo / g は落ちた時ですが、

正直 （１） で Vo / g を計算してるので、それを２倍するだけです

2 × 21 / 9.8 ＝ 4.285714．．．　 ≒ 4.3秒

【答え】
１．　2.1 秒
２．　22.5m
３．　4.3秒

No.2 回答者： tac525 回答日時： 2014/01/20 21:44

順番にお答えします。

(1)Vt=Vo-gtを使います。
　物体が最高点に達するとき、速度は０です。
　g＝9.8　初速度21m/秒と分かっているので、
　
　0=21-9.8t

t=21/9.8=2.14・・・≒2.1〔sec〕


(2)y=Vot・1/2gt^2を使います。
　tには、(1)で求めた値を代入します。
　
y=21×21/9.8-1/2×9.8×21/9.8^2
　=22.5
=23〔m〕

(3)運動の対称性から、
　初速度21m/秒で小球をなげ、その球が最高点に達するまでの時間をtとすると、
　最高点から落下してきて、発射点に戻るまでの時間もtになります。
　
　また、21m/秒で球を投げると、最高点を通り、発射点を21m/秒で通過します。

　要するに、
　(初速度21m/秒で小球をなげ、その球が最高点に達するまでの時間)×２
　＋21m/秒で発射点を通過し、そこからさらに9.8ｍ落下する時間

　で求めることが出来ます。

　初速度21m/秒で小球をなげ、その球が最高点に達するまでの時間は(1)で求めました。
　
　y=Vot・1/2gt^2を使って、
　
-9.8=21×t-1/2×9.8×t^2

9.8=4.9×t^2-21t

ここから、tを計算して、21/9.8×２を足し、四捨五入すると4.7〔sec〕になるはずです。
　
　

この回答へのお礼

ありがとうございました。とても分かりやすかったです(*^◯^*)

お礼日時：2014/01/21 19:57

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2014/01/20 21:29

＞鉛直投げ上げで、発射点から最高地点までの距離y=Vot・1/2gt^2

こんな公式はありません。次元が合わないでしょう。

g=9.8m/sec^2です。

v=V0-gt
y=h0+V0t-gt^2/2

V0=21m/sec
h0=9.8m
g=9.8m/sec^2

を使ってとけばよい。

1、t=V0/g＝2.143sec

2、ymax-h0=V0^2/(2g)=22.5m

3、y=h0+V0t-gt^2/2=0

というtに関する２次方程式を解けばよい。

t=[V0+√（V0^2+2gh）]/g=4.710sec

3、

この回答へのお礼

すいません、うち間違えてました。
回答ありがとうございます。

お礼日時：2014/01/21 19:57