三次関数と直線が接する 重解

参考書で

a b c は実数として
f(x)=x^3+ax^2+bx+c がある

このとき
f(α)＝f(β)＝0　
α≠β　である。

またf(x)はｘ＝αで極小値0をとる

という上記の事実から

f(x)=(x-α)^2(x-β)がなりたつということを
説明なしで使っている部分があるのですが
これはなぜこうなるのでしょうか？

自分なりにグラフを書いてみたりしたのですが
理由が分かりませんでした

No.8 ベストアンサー 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/02/14 10:09

ついでなので、x軸との交点を1だけのグラフも描いてみました

この回答へのお礼

詳しい説明どうもありがとうございました！
腑に落ちるまで自分で手を動かして確かめてみますね！

お礼日時：2014/02/15 10:16

No.7 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/02/14 10:08

x軸との交点を2つ（二重点が1つ、一重点が1つ）持つ場合と、

x軸との交点を1つ（三重点が1つ）持つ場合のグラフを描いてみました

x軸とα で接し、x ＝ α で極小値（極大値） をとるのは、
交点が２つで、x ＝ α で二重点の時だけです

No.6 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/02/14 10:05

Wikipedia 三次関数

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1% …

を読むと、三次関数は

D>0のとき、x軸との交点を3つ持つ。
D=0のとき、x軸との交点を2つ（二重点が1つ、一重点が1つ）持つ場合と、x軸との交点を1つ（三重点が1つ）持つ場合がある。
D<0のとき、x軸との交点を1つ持つ。

の３つに分けられます

x軸との交点を3つ持つ例のグラフを描いてみると、
３点、x ＝ α、β、γ で交わる場合、そこが頂点となることはありません
（極小値 ０、極大値 ０ をとることはない）

No.5 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/02/13 23:59

＞　またf(x)はｘ＝αで極小値0をとる

＞　という上記の事実から
＞　f(x)=(x-α)^2(x-β)がなりたつということを
＞　説明なしで使っている部分があるのですが

僕には自然で、説明なんか要らないことです

＞　f(x)=(x-α)(x-β)(x-なにか)
＞　とおくということですよね、ここまではわかるのですが

もし、「なにか」 がαでないとすると、x軸上の x ＝ α
の点で、接するのではなく、交わってしまいます
＝ 傾きが ０ でなくなってしまう
ということは、極小値でなくなってしまうので、
「x ＝ αで極小値 0 をとる」 という条件から外れて
しまいます

という訳で、「なにか」 はα でないといけません

＞　自分なりにグラフを書いてみたりしたのですが

y ＝ （x -α）（x - β）（x - γ）
　　　　　↑ α、β、γ はすべて別の値
y ＝ （x - α）^2（x - β）　

のグラフをいくつか描くと分かるはずです

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/02/13 22:42

「できる」じゃないです. 「処理を進めていくとそうなる」んです.

「x=α で最小値」ということから何がいえますか?

No.3 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/02/13 15:59

Yahoo！ 知恵袋

至急です ３次関数がＸ軸と接する条件を教えてください
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

3次関数f(x)のグラフがx軸と接する
⇔(x-a)^2で割り切れるようなaが存在する
⇔f(a)=f'(a)=0となるaが存在する
⇔f(x)とf'(x)に定数でない共通因数が存在する
⇔f(x)とf'(x)の最大公約数の次数が1以上（これはユークリッドの互除法で調べられる）

——————————————————————

という回答があり、今回は
ｘ＝αで極小値0をとるってことは、x ＝ α で接するということなので、
(x - α）^2 で割り切れると考えて良いです

No.2 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/02/13 15:46

三次方程式のグラフは

実数解が ３の時は x軸と ３点で交わり、
実数会が ２の時は、x 軸と 1点で交わり、１点で節します
今回はその節する部が　x ＝ α です
ただ、α ＞ β　であれば、極小値ですが、
α　＜　β の時は、極大値です
α ≠ β と言ってますが、α ＞ β とは言ってないので、
僕には納得行きません

ピッタリのサイトではありませんが、
13 3次方程式の解の個数 - FC2
http://mhidet.web.fc2.com/text/m2b-12-5/node13.h …

にグラフも含めて説明あるので、イメージわくかも

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/02/13 15:39

式だけで話をするなら:

まず
f(α)＝f(β)＝0, α≠β
から f(x) の因数のうち 2つが決まる. そこで因数分解した形を適当において
f(x)はｘ＝αで極小値
ということを使えば
f(x)=(x-α)^2(x-β)
が導ける.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

f(α)＝f(β)＝0, α≠β
から f(x) の因数のうち 2つが決まる. そこで因数分解した形を適当において

はf(x)=(x-α)(x-β)(x-なにか)
とおくということですよね、ここまではわかるのですが

そこから
f(x)はｘ＝αで極小値
ということを使えば
f(x)=(x-α)^2(x-β)
が導ける.

とできる理由が分かりません
教えてください

お礼日時：2014/02/13 21:36