高校物理、ばね定数

物理の参考書に解説なしで、添付図が載せられ、合成定数＝ｋ１＋ｋ２の公式が載っていました。
(1)証明を調べたのですが、教科書にはなかったので、教えてください。
(2)また、図の真ん中の丸は重りでしょうか？重りをつるして、両端を固定すると、ばねは伸び縮みするのですか？過程を教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： lazydog1 回答日時： 2014/03/22 16:07

>(1)証明を調べたのですが、教科書にはなかったので、教えてください。

　こういう場合のコツですが、まず向きで正（プラス）負（マイナス）を決めておきます。バネが引っ張るから、縮むからと考えると、ちょっとややこしくなることがあります。どちらでもいいのですが、右向きを正（プラス）とします。

　バネの両端は固定してあるとします。両端が動いてしまうなら、この図でのバネ定数は求めようがありません。例えば、両端が完全に自由に動けてしまうと、●を動かすのについて、バネは関係なくなってしまいます。

　バネに挟まれた●を右（←正、プラス）の方向へxだけ動かしたと考えてみます。今は、x＞0と考えてOKです。

　すると、●は左のバネ乗数k1のバネからは、大きさk1xで左向きの力を受けます。右向きを正としたのですから、力は「-k1x」です。

　さらに、●は右のバネ定数k2のバネからは、大きさk2xで左向きの力を受けます。右向きを正としたのですから、力は「-k2x」です。

　●が受ける力Fは、その二つの力だけですから、後は単純に足せばいいのです。単純に足してよいのは、向きで正負を決めておいたからです。力の大きさだけ考えて、向きを考えていないと、ここで足すのか引くのか考えなければならなくなります。予め向きで正負を決めておいたので、ここではもう足すか引くかを考えなくてよいのです。

　F＝(-k1x)＋(-k2x)＝-(k1+k2)x

　もし、●を左（←負、マイマス）の方向に動かしたのなら、x＜0だと考えれば、上の式が出てきます。

　この式は、バネ定数の式「F＝-kx」とよく似ています。見比べれば「k＝k1＋k2」だと分かります。

>(2)また、図の真ん中の丸は重りでしょうか？重りをつるして、両端を固定すると、ばねは伸び縮みするのですか？過程を教えてください。

　そういう図なんでしょうね。両端も固定です。そうでなかったら、教科書に記載してある「k＝k1＋k2」も出せません。

この図では、バネ定数kが「k＝k1＋k2」のバネ一つだけだとして扱ってよく、●を重りと考え、それを動かして放した後の単振動の周期なども、バネ定数kのバネ1つだとして計算できます。

No.3 回答者： teppou 回答日時： 2014/03/22 17:51

　No.1です。

　補足質問の意味がよく分りません。

　水平の状態を保ったままで、ばねを伸ばして張り、重りに左右方向の力が加わっていない場合は、接続点に（接続点以外でも）左右均等の力が働きますので、重りの重さに関わらず、力を F ばね定数を k1, k2 それぞれの伸びを x1, x2 とすると、

　F = k1x1　F = k2x2

　となりますので、

　k1x1 = k2x2

　変形すると、

　k1/k2 = x2/x1

　となります。

　中心からの変位は、

　(x1+x2)/2-x1 または、(x1+x2)/2-x2

　となります。

　バネ定数の合成は関わりありません。

　二本のばねをつないで力を加えた場合と同じです

No.1 回答者： teppou 回答日時： 2014/03/22 07:23

　(2)の質問から。

　重りのように見えますが、この図からだけでは判断できません。バネを接続してあるというシンボル表現かもしれません。
　二つのばねをつないでいる部分を例えば右に動かすと、左のばねは伸び右のばねは縮みます。

　(1)の質問。

　二つのばねをつないでいる部分を右に x 動かすと。

　左のばねは　F1 = k1x　右のばねは　F2 = k2x と式を立てると、

　辺ぺん加えて　F1+F2 = (k1+k2)x　となり、

　F1+F2　は実際に加えた力になりますので、

　F = (k1+k2)x　となり、合成のばね定数は、

　k = k1+k2 となります。

この回答への補足

追加で伺いたいのですが、重りだとして、その質量をｍ（ｋｇ）とすると、ばねを伸び縮みさせないときで重りが静止する釣り合いの式はどうなるのですか?接触はばね２本が両側にありますが

補足日時：2014/03/22 13:11