マクローリン展開について

e^{e^(x)}をx^4の項までマクローリン展開してください
考え方も教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： etaoinshadaloo 回答日時： 2014/05/27 21:42

考え方に関しては、先の回答者様の計算方法を参照して下さい。

しかし、もしあなたがより高速に、この類の問題を解きたいのであれば、
Maximaというフリーの数式処理ソフトをオススメします。
テイラー展開、マクローリン展開の系統であれば、
taylorコマンドを用います。題意であれば、

func : taylor(exp(exp(x)),x,0,4);

と入力します。「func」は適当な名前に変えても構いません。
f(0), f'(0), f"(0), …　は、以下の様にcoeffコマンドを入力します。
上で「func」の部分を変えたのであれば、同様に変更して下さい。

coeff(func, x, 0)*0!;
coeff(func, x, 1)*1!;
coeff(func, x, 2)*2!;
coeff(func, x, 3)*3!;
coeff(func, x, 4)*4!;

結果に関しては、ご自身で確認されることをオススメ致します。

No.1 回答者： info222_ 回答日時： 2014/05/25 18:43

>考え方も教えてください

4階導関数まで計算して、マクローリン展開の公式に代入するだけです。

導関数は
f(x)=e^(e^x), f(0)=e
f'(x)=(e^x)'*e^(e^x)=e^(x+e^x), f'(0)=e
f''(x)=(x+e^x)'*e^(x+e^x)=(1+e^x)e^(x+e^x), f''(0)=2e
あなたのため以下は自力でやってみてください。
f'''(x)=…　, f'''(0)=… 計算して見てください。
f'''(x)=… , f''''(0)=…　計算して見てください。

マクローリン展開の公式に代入
f(x)=e^(e^x)=e+ex+ex^2+(5/6)ex^3+(5/8)ex^4)/8+ …　←(答)
（eはネイピア数、自然対数の底のこと）