
A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
回答2の訂正です。
回答2において以下の部分をつぎに、fx(x,y) = 5x + y, fy(x,y) = 5y + x より、fy(2,-2) = 5×(-2) + 2 = -8 ≠0、したがって、(2,-2)の近傍にはf(x,Φ(x)) =0を満たす一意の微分可能関数y = Φ(x)が存在し、導関数DΦ(x)はDΦ(x) = -fx(x,y)/fy(x,y)によって与えられるから、DΦ(2) = -{5×2-2}/(-8) = 1となる。
⇒
つぎに、fx(x,y) = 5x^4 + y, fy(x,y) = 5y^4 + x より、fy(2,-2) = 5×(-2)^4 + 2 = 82≠0、したがって、(2,-2)の近傍にはf(x,Φ(x)) =0を満たす一意の微分可能関数y = Φ(x)が存在し、導関数DΦ(x)はDΦ(x) = -fx(x,y)/fy(x,y)によって与えられるから、DΦ(2) = -{5×2^4-2}/82 = -78/82 = -39/41となる。
と訂正してください。
計算がおかしいと思ったら、せっかく「補足的質問」欄があるのだから、放置しないで指摘してほしいものです!なお、回答1の方の計算も、マイナス記号が抜けているので、正しくありません。なお、陰関数の定理の適用にあたっては、fy(a,b)≠0の条件が成り立つことを指摘することが重要です。もしこれがゼロだったら、陰関数の定理は(a,b)の近傍で成立しないからです
No.2
- 回答日時:
陰関数の定理とは以下のような内容を持つ定理です。
すなわち、いま、f(x、y)を(a,b)を含む開集合で定義される関数とする。fは微分可能で、偏導関数fx(x,y)および fy(x,y)は連続とする。さらに、f(a,b) = 0、かつfy(a,b)≠0とする。このとき、(a,b)の近傍において一意の関数y=Φ(x)が存在し、f[x,Φ(x)] = 0およびDΦ(x) = - fx(x,y)/fy(x,y)が成り立つ。
問題の関数f(x,y) = x^5 + y^5 + xy + 4にこの陰関数の定理を適用する。まず、f(2,-2) = 2^5 + (-2)^5 + 2×(-2) + 4 = 0を満たしていることを確かめる。つぎに、fx(x,y) = 5x + y, fy(x,y) = 5y + x より、fy(2,-2) = 5×(-2) + 2 = -8 ≠0、したがって、(2,-2)の近傍にはf(x,Φ(x)) =0を満たす一意の微分可能関数y = Φ(x)が存在し、導関数DΦ(x)はDΦ(x) = -fx(x,y)/fy(x,y)によって与えられるから、DΦ(2) = -{5×2-2}/(-8) = 1となる。
なお、上で、fx(x、y)はxの偏導関数、fy(x、y)はyの偏導関数を表わす。
No.1
- 回答日時:
f(a,b)=f(2,-2)=0
よって点(2,-2)の近傍においては
x^5+y^5+xy+4=0 (1)
を解いて
y=φ(x) (2)
の形に表すことは可能である。
Dの定義がないのでここでは
Dφ(a)=[dφ(x)/dx](x=2)
の意と解する。
(2)の形を直接求めることは題意に照らして必要ではない。
陰関数の理論により(1)をxで微分して
5x^4+5y^4(dy/dx)+y+x(dy/dx)=0
dy/dx=-(5x^4+y)/(x+5y^4)
(x,y)=(2,-2)を代入して
dy/dx=39/41
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