円盤の慣性モーメントについて質問です

円盤の問題でわからなくて困っています
質量の限りなく小さな半径「ｒ」の円盤があり、円板の外周に90度間隔で質量「m」の重りを4つ付加した場合の円板の慣性モーメント「I」の求め方を教えてください！

No.2 ベストアンサー 回答者： Dio_Genes 回答日時： 2014/06/15 21:15

　慣性モーメントは、ある回転軸を決めれば、そこからの距離rに質量mの重り（大きさは無視できるとする）があれば、mr^2（^2は2乗を表す記法で、エクセルでも使える）になります。

　重りがいくつもあれば、Σmr^2と表されます（Σは本当は上下に何をいくつ足すかを記して、全部の和を表す記号）。

　回転軸を固定するなら、それでよいのですが、お示しの問題はおそらく、自由に回転したときの慣性モーメントを求めるという問題です（そうでなければ、たとえばずっと遠くに固定した回転軸でも構わなくて、いろいろあり過ぎてしまう）。重りを●で表すと以下の感じですね。

　 ●
●┼●
　 ●

　これが固定されずに回るなら、この画面に対して水平に回るか（┼ →X→┼ のようになる）、上下の●は動かずに左右の●が画面に対して垂直に動き出すか（┼の縦の｜は真っ直ぐ立ったまま横棒の―がくるくる回る）の2種類があります。それ以外の回し方をしようとしても安定せず、その二つのどちらかに落ち着きます。

　画面に対して水平に回るなら、質量mの●が中心からrの距離に4つですから、慣性モーメントIはmr^2が4つ、つまり4mr^2です。設問者が意図しているのは、おそらくこちらでしょう。

　しかし、上下の●二つが動かない（自転はする）場合も考えておいてもいいかと思います。もし設問者がそう意図していないとしても、そう考えていけない理由はないからです。その場合は、2個の●が中心からrの距離で回るわけですから、2mr^2です。

P.S.

　実はまだあります。斜めで回るのでもよいのです。

●　●
　＊
●　●

　これで、＊の縦棒を軸として回る場合です。これも自由に回転させた場合に可能な回り方です。

　この場合、●の＊の縦棒から距離となります。それぞれが90度の角度でしたから、●は回転軸から(sin45°)×rだけ離れています。sin45°＝1/√2を使って、4×m{(sin45°)×r}＝4mr^2/√2＝2√2×mr^2となります。

　これはP.S.としてお示ししたのはわけがあります。4mr^2＞2√2×mr^2＞2mr^2ですね。この先習うかもしれませんが、安定して回転するためには、慣性モーメントの値が最大か、最小になる必要があります。最初の二つは慣性モーメントの値が最大、最小になるものですので、そのように回せば、多少乱されてもあまり姿勢が変わらず、安定します。

　このP.S.で扱った回り方では、慣性モーメントの値が中間です。この回り方をしていて、少しでも乱されたら（例えば、空気中だと必ず乱される）、回り方がどんどん変化してしまいます。安定させるためには使えない回り方ということで、最初の二つに対して参考までにお示ししました。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/06/15 23:00

回転軸が 円盤に垂直で円盤の中心を通るなら 4mr^2

No.1 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2014/06/15 19:39

質量が限りなく小さいとは質量を無視していいという意味だと思いますので，

単に回転軸から距離rの位置にある質点の慣性モーメントを求めて４倍するだけ。(重りは大きさが無視できるとして。大きさが書いていないということはそういうことでしょう。)