全有界な距離空間がわかりません

「(X, dx)を距離空間とする．この距離空間が全有界であるなら，部分距離空間(Y, dx)も全有界である．(X, Yは集合，dxは距離)」
この命題は正しいのでしょうか？この命題が正しければ，納得する他の命題が2つほどあります．ですが，参考書のどこにもこの命題については書かれておらず，自分で証明しようとしましたが，できませんでした．
この命題が正しいのかどうか，ご教授願います．

No.1 ベストアンサー 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2014/07/07 01:53

命題は正しい。

証明のヒント
１．(X,d)が全有界の定義は、どんなεに対しても、有限個のxj∈X (j=1,2,...n)の開球B(xj,ε)でX=U[j=1,n]B(xj,ε)とできることを意味する。
２．Y⊂X よって　Y⊂U[j=1,n]B(xj,ε) なのでY∩B(xj,ε) には空集合でないものがある。
３．B(Xj,ε)に属する2つの元の距離は2ε以下。するとあるy∈Yでy∈B(xj,ε)のものを中心にB(y,2ε)を考えると、B(xj,ε)⊂B(y,2ε)
４．そのようなB(y,2ε)をY∩B(xj,ε)が空集合でない全てのjについて集めると、Yの被覆が構成できる。

この回答へのお礼

ありがとうございます．
おかげさまで証明ができました．
B(xj,ε)に属する2つの元の距離が2ε以下ということに気づかせていただきありがとうございます．
今後ともよろしくお願いいたします．

お礼日時：2014/07/12 08:46