arcsinの微分→積分？

添付画像にて、、、なぜ一行目ののようになるのかが分かりません・・・。

基本的なことなのかもしれませんが・・・

どうして　こういうことになるのか教えてください！　

No.3 ベストアンサー 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2014/08/07 12:04

d(arcsinx)/dx = (arcsinx)' = 1/√(1-x^2)

でしょう。

で、
　∫arcsinxdx = ∫(x')arcsinxdx　　　　　（１）
と考えて、部分積分の公式を使う。
すると、
　（１）式 = xarcsinx - ∫x(arcsinx)'dx = xaracsinx - ∫x/√(1-x^2)dx
となります。

書くのが面倒なので、
定積分ではなく不定積分としていますけれどもね。


なお、部分積分は
　∫f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) - ∫f(x)g'(x)dx
で、
　f(x) = x
　f'(x) = 1
　g(x) = arcsinx
と置いて考えればいい。

この回答へのお礼

何をやっているのかが、シンプルでとてもわかりやすかったです。

どうも、ありがとうございました！　

お礼日時：2014/08/10 01:35

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2014/08/07 12:04

I=∫arcsin(x)dx

部分積分を使います。

arcsin(x)=f(x)g'(x)

と考え、f(x)=arcsin(x), g'(x)=1,すなわちg(x)=x

とすると部分積分の公式に当てはめて

I=∫f(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]-∫f'(x)g(x)dx=[xarcsin(x)]-∫f'(x)xdx

f(x)=arcsin(x)より

f'(x)=1/√(1-x^2)

これは逆関数の微分の公式を使って導けます。

y=arcsin(x)

x=sin(y)

dy/dx=1/(dx/dy)=1/cos(y)=√(1-x^2)

以上から

I=∫f(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]-∫f'(x)g(x)dx=[xarcsin(x)]-∫xdx/√(1-x^2)


実は

∫xdx/√(1-x^2)＝-√(1-x^2)

もけっこうしゃれた公式ですね。証明は-√(1-x^2)を微分すれば左辺に一致することでできます。


後は定積分の形に整理してください。

この回答へのお礼

途中式を何度か写していくうちに、部分積分とはこういうものなのかというのが、つかめてきました。

とても助かりました。

ご丁寧なお答えを、どうもありがとうございました！

お礼日時：2014/08/10 01:34

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/08/07 11:12

ぶぶんせきぶん

この回答へのお礼

ご回答、どうもありがとうございました！

お礼日時：2014/08/08 00:06