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一様断面の長さLの片持ちはりに図のような分布荷重が作用しているときの
はりのたわみ曲線と最大たわみを求めたいのですが手順がよくわかりません。
分布荷重を集中荷重におきかえられれば求められそうですが、
集中荷重が作用する点を求めることができませんでした。

「片持ちはりに正弦状分布荷重が作用した時の」の質問画像
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A 回答 (5件)

>これを、たわみの基礎式に代入し、順次積分して求める。

という事でしょうか。

 違います。計算したモーメント分布をまた分布荷重としてその単純張りに載荷するのです。そして得られたモーメントをEIで割ったものが撓みになるのです。
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>2Lの単純はりを考えるということは、図のA点から左に鏡像を考えるという事でしょうか。



そのとおりです。


>その時はりの両端がw0、中央が0の荷重となりますがその時のモーメント分布を導く方法がわかりません。

スパンを2倍にした共役梁のーメントは#3の方が示された式になります。 つまり桁端から x 離れた位置のモーメントは

M(x)= -∫w(ξ) * x dξ 積分範囲:0→x となるのですが、

単純梁ではx=0ではゼロなので積分定数が入らないのがミソなのです。片持ち梁だとそうは行かないのです。

そして計算結果のモーメントを荷重にするのですから、これに更にxをかけ、これをゼロからLまでの積分を行うと、これが中央の撓みになるのです。 

片持ち梁のままで積分を行うと一回目の積分で出た積分常数を引き摺りますから、最後に境界条件を結果に代入して積分常数を決めるという面倒な計算が必要になるので手間がかかるのをスパンを倍にした共役梁では一切その必要がないのが取り柄なのです。

この回答への補足

M(x)=-w0sin(pi/2L)*x^3/6
これを、たわみの基礎式に代入し、順次積分して求める。
という事でしょうか。

補足日時:2014/08/28 23:49
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片持ち梁の場合は、すなおに積分するのが簡単だと思いますよ。



x点のたわみをy(x)、モーメント応力をM(x)、梁のヤング率と断面2次モーメントをE,Iとすると

d^2y(x)/dx^2 =-M(x)/(E*I)
M(x)= -∫w(x) * x dx

を解けばよいです。
yの微分方程式の積分定数は x=L において、たわみ、回転角とも0であることから
y(L)=0 , dy(L)/dx=0 から求めます。

この回答への補足

M(x)=-1/6*w0sin(pi/2L)x^3
dy/dx=1/EI*1/24*w0sin(pi/2L)x^4+C1
y=1/EI*1/120*w0sin(pi/2L)x^5+C1x+C2
x=Lでdy/dx=y=0より
C1=-1/EI*1/24*w0*sin(pi/2L)*L^4
C2=-1/EI*1/20*w0*sin(pi/2L)*L^5

となりますでしょうか?

補足日時:2014/08/24 22:52
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>2Lの単純はりを考えるということは、図のA点から左に鏡像を考えるという事でしょうか。



そのとおりです。こういう解き方を共役梁と言います。いちいち積分しなくても簡単に解ける撓みの便利な計算法ですから、覚えておくといいですよ。


>その時はりの両端がw0、中央が0の荷重となりますがその時のモーメント分布を導く方法がわかりません。

共役梁の左端からxの距離にある点のモーメントは、左端からの距離をξとしたときの下の積分でもとめられます。

M=W0∫ξsin(π/2L・ξ)dξ 積分範囲:0→x

です。初等力学の基礎です(^_-) また、この積分は積分学の初歩ですよね。判らなければ積分学のテキストを参照して下さい。部分積分法で簡単に解けます。

この回答への補足

M=w0{(2*pi-4)/pi^2}L^2
モーメントは上式のようになると考えたのですが、この先解答までの道筋が立てられませんでした。
せっかく回答を頂いたのに理解できず、申し訳ありません。

補足日時:2014/08/24 23:00
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最も簡単な方法はこうです。

そのたわみは長さ2Lの単純張りに正弦波状の荷重がかかっているときの中央の撓みに等しいことは明白ですよね。これで解くのです。

この単純梁のモーメント分布は簡単ですよね。計算できたモーメントをまた荷重として載荷したときの中央のモーメントをEIで割ったものが求める撓みになります。理由は簡単

モーメントM=1/EI・y''  モーメントは撓みの2回微分した値をEIで割ったもの
荷重   F=M''     荷重はモーメントを2回微分したもの

ということで、その関係が全く同じだからです。ですから、荷重がかかったときのモーメントを求めたら、そのモーメントを荷重にしてモーメントを計算すればその値が撓みになるのです。

但し片持ち梁では積分定数がゼロにならないのでゼロになる単純梁に置き換えて計算すると楽なのです。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
はりの形を変える方法は思いつきませんでした。

2Lの単純はりを考えるということは、図のA点から左に鏡像を考えるという事でしょうか。
その時はりの両端がw0、中央が0の荷重となりますがその時のモーメント分布を導く方法がわかりません。

補足日時:2014/08/07 23:50
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