数学の問題の解説を一からお願いします。

┃１┃
(log3X/３)(log3X/９)=a
が２つの解α、β(０＜α＜β)を持つとき、

(a)実数の定数aの取り得る値の範囲は

a＜(１)/(２)

(b)αβ=(　３　)

(a)は答えが１/4となり解くことができました。

(b)の解答を見ると、解と係数の関係によりlog3α＋logβ=log3αβ=３であるから、αβ=２７
となっていたのですが、解と係数の関係とはなんでしょうか。
それとlog3α＋log3β=３の=３はどこからきたのでしょうか。

半角の数字はlogの右下についてある数を指しています。


┃２┃
aを正の定数とし、xy平面上の２直線y=ax、y=３axのなす角をθ(０＜θ＜π/２)とする。

(a)tanθ=(　１　)a/(　２　)＋(　３　)a^2

(b)a=√(　4　)/(　５　)のときtanθは最大となり、このときθ=(　６　)/(　７　)

どうやって解けばいいのか全く分かりません。
解答を見てもさっぱりです。
一から解説の程をよろしくお願いします。

(b)の√は(　４　)だけにかかっています。

何か不明な点がございましたら、お手間をおかけしますがご質問下さい。

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/08/10 20:45

（１）

対数の底である３は省略して記載します。
ｌｏｇＸ＝ｚとおくと、ｌｏｇ（Ｘ／３）＝ｚ－１、ｌｏｇ（Ｘ／９）＝ｚ－２です。
するとこの方程式
（ｌｏｇ（Ｘ／３））（ｌｏｇ（Ｘ／９））＝ａ　は
（ｚ－１）（ｚ－２）＝ａ
と書きかえることができます。これを展開すると
ｚ＾２－３ｚ＋３－ａ＝０　・・・（あ）

一方この方程式の解がαおよびβなのでこの方程式は、
（ｚ－ｌｏｇα）（ｚ－ｌｏｇβ）＝０　であり、これを展開すると
ｚ＾２－（ｌｏｇα＋ｌｏｇβ）ｚ＋（ｌｏｇα）（ｌｏｇβ）＝０　・・・（い）

（あ）と（い）の係数を比較すると
ｌｏｇα＋ｌｏｇβ＝３

（２）
ｙ＝ａｘ　がｘ軸となす角をα、　ｙ＝３ａｘがｘ軸となす角をβとすると、
ｔａｎα＝ａ、ｔａｎβ＝３ａ
ここでΘ＝βーαなので
ｔａｎΘ＝（ｔａｎβーｔａｎα）／（１＋ｔａｎαｔａｎβ）
　　　　＝２ａ／（１＋３ａ＾２）
これをａで微分して＝０とおくと
（２－６ａ＾２）／（３ａ＾２＋１）＾２＝０
よってａ＝±√３／３
どちらがｔａｎΘの最大値を与えるかはご自分で。

この回答へのお礼

詳しいご回答ありがとうございます。
係数比較とはどことどこの係数を比較しているのでしょうか。
係数比較そのものの知識がありませんので教えていただけるとありがたいです。

お礼日時：2014/08/13 19:02

No.2 ベストアンサー 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/08/13 19:27

ｚの係数を（あ）と（い）で比較すると、

（あ）：３
（い）：ｌｏｇα＋ｌｏｇβ
なので、
ｌｏｇα＋ｌｏｇβ＝３
となります。

この回答へのお礼

補足のご回答ありがとうございます。

お礼日時：2014/08/13 23:49