確率変数の和の問題です。

2つの確率変数XとYが、互いに独立に一様分布に従うとするとき、
確率変数X+Yはどのような分布の形状になるのでしょうか?

結局、和も一様分布になるのでしょうか?分からなくなってしまいました。
教えて下さい。

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A 回答 (4件)

連続型でピンとこないなら、離散型で考えてみれば?例えばサイコロを1個振るでしょ。

1から6に一様(離散なので一様的)に出るね。2回振って和を取ると、平均3.5*2=7だけど2から12が一様的には出ないよね。
元問題を正確に解くと、確率変数X,Yの確率密度関数をf(x),g(y)として。確率変数Z=X+Yの確率密度関数をh(z)とすると。
h(z)=∫[-∞,∞]f(z-y)g(y)dy または h(z)=∫[-∞,∞]f(x)g(z-x)dx を計算すればよい。
問題よりf(x)=1 (0≦x≦1),g(y)=1 (0≦y≦1) なので 0≦z≦1のときyは0≦y≦z,1<z≦2のときz-1≦y≦1の範囲をとる。
0≦z≦1 のとき h(z)=∫[0,z]f(z-y)g(y)dy=∫[0,z]1・1dy=z
1<z≦2 のとき h(z)=∫[z-1,1]f(z-y)g(y)dy=∫[z-1,1]1・1dy=1-(z-1)=2-z
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この回答へのお礼

返事が遅くなりました、すいません。
丁寧なご返答、ありがとうございました。

だいぶ理解が進みました。
またよろしくお願いします。

お礼日時:2014/09/02 18:13

確率変数X+Yは、XY平面で考えると理解しやすいかと思います。



例えば、確率変数Xが0~1の範囲に一様に分布し、確率変数Yも、0~1の範囲に一様に分布しているとしましょう。
ここで、XとYが独立ならば、(X,Y)は、XY平面で、0<X<1, 0<Y<1 の範囲に一様に分布します。

X+Yの分布は、上記の領域と、直線 X+Y=K を考えます。
この直線が領域にかかる線分の長さが、確率に比例します。
Kは0~2の範囲をとり、K=1 のときに確率が最大となります。
これをグラフにしてみると、Kの確率密度関数は、(0,0), (1,1), (2,0) を結ぶ折れ線になります。
(確率密度関数なので、この三角形の面積は1です。)

因みに、0~1の間で乱数を2回発生させ、これらを加えた数が、丁度この分布になります。
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この回答へのお礼

御丁寧にありがとうございます、まだ充分理解できないのでもう少し考えてみます。

お礼日時:2014/08/17 22:14

確率密度関数が2等辺3角形の形状になる

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この回答へのお礼

ありがとうございます。
形状は分かりましたが原理がイマイチ分かっておりません。
もう少し勉強してみます。

お礼日時:2014/08/17 22:13

互いに独立なら一様です。

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この回答へのお礼

ありがとうございます。
もう少し考えてみます。

お礼日時:2014/08/17 22:12

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Q確率変数XとYはf(x,y)=cxy^2(0

宜しくお願い致します。

[Q]The random variables X and Y have a joint probability density function given by f(x,y)=cxy^2 for 0<x<y<2 and 0 elsewhere
a) Find c so that f is indeed a probability density function.
b) Find P(X<1,y>1/2).
c) Find the probability density function of X.

[問]確率変数XとYはf(x,y)=cxy^2(0<x<y<2でそれ以外は0)で与えられた同時確率密度関数を持つとする。
(a) fが本当に確率密度関数であるようなcを求めよ。
(b) P(X<1,Y>1/2)を求めよ。
(c) Xの確率密度関数を求めよ。

[(a)の解]fが本当に確率密度関数なら∫_y∫_xf(x,y)dx=1.
∫[0..2]∫[y..0]cxy^2dxdy=∫[0..2]cy^2[x^2/2]^y_0dy
=∫[0..2]cy^2(y^2/2)dy=c/2∫[0..2]y^4dy=c/2[y^5/5]^2_0
=c/2(32/5)=32c/10=1. ∴c=5/16

[(b)の解]P(X<1,Y>1/2)=∫[1/2..2]∫[0..1]5xy^2/16dxdy
=∫[1/2..2]5y^2/16[x^2/2]^1_0dy
=∫[1/2..2]5y^2/16・(1/2)dy
=5/32∫[2..1/2]y^2dy
=5/32[y^3/3]^2_1/2
=5/32[8/3-1/8/3]
=0.41

[(c)の解]f_x(X)=∫_yf(x,y)dy=∫[0..2]5xy^2/16dy
=5x/16[y^3/3]^2_0=5x/16(8/3)=5x/6

で(c)の解が間違いだったのですが正解が分かりません。
正解はどのようになりますでしょうか?

宜しくお願い致します。

[Q]The random variables X and Y have a joint probability density function given by f(x,y)=cxy^2 for 0<x<y<2 and 0 elsewhere
a) Find c so that f is indeed a probability density function.
b) Find P(X<1,y>1/2).
c) Find the probability density function of X.

[問]確率変数XとYはf(x,y)=cxy^2(0<x<y<2でそれ以外は0)で与えられた同時確率密度関数を持つとする。
(a) fが本当に確率密度関数であるようなcを求めよ。
(b) P(X<1,Y>1/2)を求めよ。
(c) Xの確率密度...
続きを読む

Aベストアンサー

うーん、前回の質問といい、なぜ前の2問ができてこれを間違うのでしょう?
発展問題というより、視点を変えただけで難易度も考え方も同じです。
今回は前回よりは勘違い度が低いのできちんと書いておきます。

f(x,y)=cxy^2(0<x<y<2でそれ以外は0)
なのですからyの積分範囲は下限x,上限2ですね。

5x/16∫[x,2]y^2dy=5x/16 * [y^3/3]^2_x=5x/48 * (8-x^3)
(=5x/6-5x^4/48)

QX,Yは正規分布(0,1)に従う互いに独立な確率変数とする、このとき、

X,Yは正規分布(0,1)に従う互いに独立な確率変数とする、このとき、X+Y、X/Yの分布は?
  頭悪いです、すみません~

Aベストアンサー

正規分布の再生性は応用上たいへん重要なので,覚えてくださいね。
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密度変換の公式などは,大丈夫ですね。

Q確率変数Xが平均0、分散1の標準正規分布に従うとき、|X|の確率密度関

確率変数Xが平均0、分散1の標準正規分布に従うとき、|X|の確率密度関数、平均、分散を求め方と答えを教えてください;;
急ぎの問題で、大変困っておりますので、よろしくお願いします。

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fがXの確率密度関数 ⇔ Pr[X < t] = int[-∞,t]f(x)dx

この場合、|X| < 0となることはないから Pr[|X| < 0] = 0
Pr[|X| < 0] = int[-∞,0]g(x)dx = 0 ⇒ g(x) = 0 when x < 0


そのガウス積分は、計算する必要ないですよ。
fは標準正規分布の密度関数ということが分かっていますから。
int[0,∞]x^2g(x)dx = int[-∞,∞]x^2f(x)dx = 1

V[|X|] = 1 - 2/π

Q指数分布,連続型確率変数Xが,分布関数f(x)

指数分布,連続型確率変数Xが,分布関数f(x)=ce^-cx(x≧0),0(x<0)(cは定数,c>0)を持つとき,xは指数分布に従うという。
(1)公理を説明せよ。
(2)E(x),V(x)を求めよ。
と言う問題です。
(1)は連続型なので∫_-∞^∞f(x)=1から∫_0^∞(ce^-cx)dx=c∫_0^∞(e^-cx)dx=-〔e^-cx〕_0^∞=1と言うのを授業でして復習しているのですが,c∫_0^∞(e^-cx)dx=-〔e^-cx〕_0^∞=1の部分がどうしてこうなるのかが分かりません。教えてください。

Aベストアンサー

#1への「補足」に対して

>c∫_0^∞ {e^(-cx)} dx = c [(-1/c)e^(-cx)]_0^∞

#1と同じことを書くことになるのですが、
∫e^(-cx)dx = (-1/c)e^(-cx) + f  (f は積分定数)
だからです。

(i) もしこの不定積分を質問しておられるのでしたら、a が定数のとき
 (d/dx)e^(ax)
= [{d/d(ax)}e^(ax)]・d(ax)/dx
= e^(ax)・a
= a e^(ax)
を思い出してください。a で割ると
e^(ax) = (d/dx){(1/a) e^(ax)}。
この式は (1/a) e^(ax) を x で微分すると e^(ax) になることを示しています。逆に言うと、e^(ax) を x で積分すれば (1/a) e^(ax) + 定数 になるということです。式で書くと
∫e^(ax) dx = (1/a) e^(ax) + 積分定数。
いまは a = -c の場合です。

(ii) 不定積分自体は問題ないのであれば、
 c∫_0^∞ {e^(-cx)} dx
= c [(-1/c)e^(-cx) + f]_0^∞。
ここで、f の項は定数ですから、積分の上端と下端で同じ寄与をします。よって、引き算をすると消えてしまい、そのため、定積分ではふつう、積分定数は書かないで
= c [(-1/c)e^(-cx)]_0^∞
とします。

#1への「補足」に対して

>c∫_0^∞ {e^(-cx)} dx = c [(-1/c)e^(-cx)]_0^∞

#1と同じことを書くことになるのですが、
∫e^(-cx)dx = (-1/c)e^(-cx) + f  (f は積分定数)
だからです。

(i) もしこの不定積分を質問しておられるのでしたら、a が定数のとき
 (d/dx)e^(ax)
= [{d/d(ax)}e^(ax)]・d(ax)/dx
= e^(ax)・a
= a e^(ax)
を思い出してください。a で割ると
e^(ax) = (d/dx){(1/a) e^(ax)}。
この式は (1/a) e^(ax) を x で微分すると e^(ax) になることを示しています。逆に言うと、e^(ax) を x で...続きを読む

Q確率変数XがP(X=1)=P(X=2)なるポアソン分布を持つならばP(X=4)を

もし確率変数XがP(X=1)=P(X=2)なるポアソン分布を持つならばP(X=4)を求めよ。

という類の問題なのですがどなたか解き方をご教示ください。

ポアソン分布とは
「ポアソン分布
特定の事象が起こる確率pはきわめて小さいが、試行回数nが非常に多いためにその
事象が何回かは起こるときその生起回数の分布として表れる。
パラメータλのポアソン分布の確率密度関数は
p_λ(k)=(λ^k)e^-λ/k!である。ポアソン分布の平均、分散はともにλである」
といったものです。

Aベストアンサー

ポアソン分布において、
P(X=k) = {(λ^k)/k!} e^(-λ)
ですから、条件 P(X=1)=P(X=2) からλ(>0)を求め、それからP(X=4)を求めれば良いです。

P(X=1) = λ e^(-λ)
P(X=2) = {(λ^2)/2!}e^(-λ)
P(X=1) = P(X=2) ⇔ λ e^(-λ) = {(λ^2)/2!}e^(-λ)
λ = (λ^2) / 2
λ (λ - 2) = 0
λ>0 として λ = 2
P(X=4) = {2^4/(4!)} e^(-2)

> p_λ(k)=(λ^k)e^-λ/k!である
に数字を入れて解くだけなのに。ポアソン分布の説明を書いていただいたのは良いのですが、その時間があるなら、ご自分で計算してみてはいかが?


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