確率変数の和の問題です。

2つの確率変数XとYが、互いに独立に一様分布に従うとするとき、
確率変数X+Yはどのような分布の形状になるのでしょうか?

結局、和も一様分布になるのでしょうか?分からなくなってしまいました。
教えて下さい。

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A 回答 (4件)

連続型でピンとこないなら、離散型で考えてみれば?例えばサイコロを1個振るでしょ。

1から6に一様(離散なので一様的)に出るね。2回振って和を取ると、平均3.5*2=7だけど2から12が一様的には出ないよね。
元問題を正確に解くと、確率変数X,Yの確率密度関数をf(x),g(y)として。確率変数Z=X+Yの確率密度関数をh(z)とすると。
h(z)=∫[-∞,∞]f(z-y)g(y)dy または h(z)=∫[-∞,∞]f(x)g(z-x)dx を計算すればよい。
問題よりf(x)=1 (0≦x≦1),g(y)=1 (0≦y≦1) なので 0≦z≦1のときyは0≦y≦z,1<z≦2のときz-1≦y≦1の範囲をとる。
0≦z≦1 のとき h(z)=∫[0,z]f(z-y)g(y)dy=∫[0,z]1・1dy=z
1<z≦2 のとき h(z)=∫[z-1,1]f(z-y)g(y)dy=∫[z-1,1]1・1dy=1-(z-1)=2-z
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この回答へのお礼

返事が遅くなりました、すいません。
丁寧なご返答、ありがとうございました。

だいぶ理解が進みました。
またよろしくお願いします。

お礼日時:2014/09/02 18:13

確率変数X+Yは、XY平面で考えると理解しやすいかと思います。



例えば、確率変数Xが0~1の範囲に一様に分布し、確率変数Yも、0~1の範囲に一様に分布しているとしましょう。
ここで、XとYが独立ならば、(X,Y)は、XY平面で、0<X<1, 0<Y<1 の範囲に一様に分布します。

X+Yの分布は、上記の領域と、直線 X+Y=K を考えます。
この直線が領域にかかる線分の長さが、確率に比例します。
Kは0~2の範囲をとり、K=1 のときに確率が最大となります。
これをグラフにしてみると、Kの確率密度関数は、(0,0), (1,1), (2,0) を結ぶ折れ線になります。
(確率密度関数なので、この三角形の面積は1です。)

因みに、0~1の間で乱数を2回発生させ、これらを加えた数が、丁度この分布になります。
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この回答へのお礼

御丁寧にありがとうございます、まだ充分理解できないのでもう少し考えてみます。

お礼日時:2014/08/17 22:14

確率密度関数が2等辺3角形の形状になる

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この回答へのお礼

ありがとうございます。
形状は分かりましたが原理がイマイチ分かっておりません。
もう少し勉強してみます。

お礼日時:2014/08/17 22:13

互いに独立なら一様です。

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この回答へのお礼

ありがとうございます。
もう少し考えてみます。

お礼日時:2014/08/17 22:12

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また和讃のCDを買ったところ御詠歌(?)ていうんでしょうか‥歌ってました。
普通にお経のように和讃を唱えてるCDが欲しいのですがおすすめの商品を教えて下さい。特に地蔵和讃、弘法大師和讃を御詠歌でなく普通に唱えてるCDが欲しいです。

Aベストアンサー

和讃は朗唱(声高に歌うこと。)するものですので、
普通に唱えているお経のCDがほしいなら「お経 CD」などで検索したらいかがですか?
ここにも色々売っております。
http://www.kyoto-music.net/SP/shingon_okyo.htm

QX,Yは正規分布(0,1)に従う互いに独立な確率変数とする、このとき、

X,Yは正規分布(0,1)に従う互いに独立な確率変数とする、このとき、X+Y、X/Yの分布は?
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正規分布の再生性は応用上たいへん重要なので,覚えてくださいね。
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Aベストアンサー

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教科書では次のように言っています。

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続いて、「3つ以上の確率変数の独立性についても2つの場合と同様に定義される」と言います。

その後、次のような説明があります。

「確率変数X,Y,Zが任意の値a,b,cについてP(X=a,Y=b,Z=c)=P(X=a)P(Y=b)P(Z=c)を満たすとき、X,Y,Zは独立であるという。

このとき、X+YとZは互いに独立となり、 V(X+Y)=V(X)+V(Y)を繰り返し用いると、次のことが成り立つ。

確率変数X,Y,Zが独立ならば、
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上の「このとき、X+YとZは互いに独立となり」という部分がどうしても証明できません。

(1) あまりに自明なことなのに私がドつぼにはまってしまい苦しんでいるのか、
(2) もう少しレベルの高い勉強をしないと理解できないことなのか、

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Xがとり得る値を e_1, e_2, …, e_n とします。これは、Xがこれらの値をとる確率をすべて合計すると、1になることを意味します。

  Σ[k=1 to n] P(X = e_k) = 1 (ア)

つぎに、任意の値dについて、X+Y が d になる確率を求めます。このとき、X は e_1, e_2, …, e_n のどれかなので、Yは d - e_1, d - e_2, …, d - e_n になります。そこで、X+Yがdになる確率は、次のように表わせます。

  P(X+Y=d) = Σ[k=1 to n] P(X = e_k, Y = d - e_k)  (イ)

XとYは独立なので、(イ)は次のように書き換えられます。

  P(X+Y=d) = Σ[k=1 to n] P(X = e_k) P(Y = d - e_k)  (ウ)


つぎに、X+Y が d で、 Z が 任意の値 c になる確率を求めます。

  P(X+Y=d, Z=c) = Σ[k=1 to n] P(X = e_k, Y = d - e_k, Z=c) (エ)

X,Y,Zは独立なので、(エ)は次の式に書き換えられます。

  P(X+Y=d, Z=c) = Σ[k=1 to n] P(X = e_k) P(Y = d - e_k) P(Z=c) (オ)

P(Z=c)は定数(kに無関係)なので、Σの外に出せます。

  P(X+Y=d, Z=c) = {Σ[k=1 to n] P(X = e_k) P(Y = d - e_k)} P(Z=c) (カ)

(カ)に(ウ)を代入すると、

  P(X+Y=d, Z=c) = P(X+Y=d) P(Z=c) (キ)

したがって、X+Y と Z は独立です。(証明終)

Xがとり得る値を e_1, e_2, …, e_n とします。これは、Xがこれらの値をとる確率をすべて合計すると、1になることを意味します。

  Σ[k=1 to n] P(X = e_k) = 1 (ア)

つぎに、任意の値dについて、X+Y が d になる確率を求めます。このとき、X は e_1, e_2, …, e_n のどれかなので、Yは d - e_1, d - e_2, …, d - e_n になります。そこで、X+Yがdになる確率は、次のように表わせます。

  P(X+Y=d) = Σ[k=1 to n] P(X = e_k, Y = d - e_k)  (イ)

XとYは独立なので、(イ)は次のように書き換...続きを読む

Qさいころを4回投げて、その和が5の倍数になるのは何通りか?

参考書に、さいころを4回なげて、その和が6の倍数になるのは何通りか…という問題がありました。
その解答は、
 1~3回目までの和が6の倍数のとき、4回目は6
 1~3回目までの和が6で割ると1余るなら、4回目は5
 1~3回目までの和が6で割ると2余るなら、4回目は4
 1~3回目までの和が6で割ると3余るなら、4回目は3
 1~3回目までの和が6で割ると4余るなら、4回目は2
 1~3回目までの和が6で割ると5余るなら、4回目は1、で
1~3回目までの目の出方は6^3=216通りで、この一つずつに対してでる目の出方は1通りに定まるので、216通りが正解!とありました。
そこで、私は自分で問題を変えて「さいころを4回なげて5の倍数になるのは何通りか?」というのを自分なりに解いてみました。
(1)1~3回目までの和が5の倍数のとき、4回目は5
(2)1~3回目までの和が5で割ると4余るなら、4回目は1
(3)1~3回目までの和が5で割ると3余るなら、4回目は2
(4)1~3回目までの和が5で割ると2余るなら、4回目は3
(5)1~3回目までの和が5で割ると1余るなら、4回目は4で、
(1)~(5)までは対等なので、(1)の1~3回目までの和が5の倍数になる場合が、(1,1,3)、(1,2,2)、(1,3,6)、(1,4,5)、(2,3,5)、(2,4,4)、(3,3,4)、(4,4,2)、(4,5,6)、(5,5,5)の10通りあるので、
10×5=50通りになるのかなって?思うのですが、これで合ってますでしょうか?
又、違う方法が有りましたら、教えてください。宜しくお願いします。

参考書に、さいころを4回なげて、その和が6の倍数になるのは何通りか…という問題がありました。
その解答は、
 1~3回目までの和が6の倍数のとき、4回目は6
 1~3回目までの和が6で割ると1余るなら、4回目は5
 1~3回目までの和が6で割ると2余るなら、4回目は4
 1~3回目までの和が6で割ると3余るなら、4回目は3
 1~3回目までの和が6で割ると4余るなら、4回目は2
 1~3回目までの和が6で割ると5余るなら、4回目は1、で
1~3回目までの目の出方は6^3=21...続きを読む

Aベストアンサー

> (1)1~3回目までの和が5の倍数のとき、4回目は5
> (2)1~3回目までの和が5で割ると4余るなら、4回目は1
> (3)1~3回目までの和が5で割ると3余るなら、4回目は2
> (4)1~3回目までの和が5で割ると2余るなら、4回目は3
> (5)1~3回目までの和が5で割ると1余るなら、4回目は4で、

(2)が違います。
「4回目は1か6」です。

> 10×5=50通りになるのかなって?思うのですが、これで合ってますでしょうか?

この問題でも、1 ~ 3回目までのさいころの目の出方は6^3 = 216通りです。
もう一度、参考書の問題の解説の意味をよく考えてみてください。

> 又、違う方法が有りましたら、教えてください。宜しくお願いします。

1~3回目までの和が5で割ると4余る場合だけ、
「4回目に2種類の目が出ても良い」という風になっているので、
そこだけ特別に考えます。
「1~3回目までの和が5で割ると4余る場合」の「目の組み合わせ」は

(1, 1, 2)
(1, 2, 6)
(1, 3, 5)
(1, 4, 4)
(2, 2, 5)
(2, 3, 4)
(3, 3, 3)
(2, 6, 6)
(3, 5, 6)
(4, 4, 6)
(4, 5, 5)

となります。ここで目の出方の並び方を考えると、
目の出方は全部で43通りです
(例えば目の組み合わせが(1, 1, 2)となるケースは、
「1回目に1、2回目に1、3回目に2となるケース」、
「1回目に1、2回目に2、3回目に1となるケース」、
「1回目に2、2回目に1、3回目に1となるケース」の
3種類のケースが考えられます。
目の組み合わせが(3, 3, 3)となるケースは
「1回目に3、2回目に3、3回目に3となるケース」の
1種類しか考えられません)。

「1~3回目までの和が5で割ると4余る場合」以外のケースは全部で
216 - 43 = 173通りです。

「1~3回目までの和が5で割ると4余る場合」以外のケースは
「4回目に出て良い目の種類は1通り」ですが、
「1~3回目までの和が5で割ると4余る場合」に関しては
「4回目に出て良い目の種類は2通り」なので、
求める場合の数は

173 × 1 + 43 × 2 = 259通り

となります。

> (1)1~3回目までの和が5の倍数のとき、4回目は5
> (2)1~3回目までの和が5で割ると4余るなら、4回目は1
> (3)1~3回目までの和が5で割ると3余るなら、4回目は2
> (4)1~3回目までの和が5で割ると2余るなら、4回目は3
> (5)1~3回目までの和が5で割ると1余るなら、4回目は4で、

(2)が違います。
「4回目は1か6」です。

> 10×5=50通りになるのかなって?思うのですが、これで合ってますでしょうか?

この問題でも、1 ~ 3回目までのさいころの目の出方は6^3 = 2...続きを読む

Q確率変数XとYはf(x,y)=cxy^2(0

宜しくお願い致します。

[Q]The random variables X and Y have a joint probability density function given by f(x,y)=cxy^2 for 0<x<y<2 and 0 elsewhere
a) Find c so that f is indeed a probability density function.
b) Find P(X<1,y>1/2).
c) Find the probability density function of X.

[問]確率変数XとYはf(x,y)=cxy^2(0<x<y<2でそれ以外は0)で与えられた同時確率密度関数を持つとする。
(a) fが本当に確率密度関数であるようなcを求めよ。
(b) P(X<1,Y>1/2)を求めよ。
(c) Xの確率密度関数を求めよ。

[(a)の解]fが本当に確率密度関数なら∫_y∫_xf(x,y)dx=1.
∫[0..2]∫[y..0]cxy^2dxdy=∫[0..2]cy^2[x^2/2]^y_0dy
=∫[0..2]cy^2(y^2/2)dy=c/2∫[0..2]y^4dy=c/2[y^5/5]^2_0
=c/2(32/5)=32c/10=1. ∴c=5/16

[(b)の解]P(X<1,Y>1/2)=∫[1/2..2]∫[0..1]5xy^2/16dxdy
=∫[1/2..2]5y^2/16[x^2/2]^1_0dy
=∫[1/2..2]5y^2/16・(1/2)dy
=5/32∫[2..1/2]y^2dy
=5/32[y^3/3]^2_1/2
=5/32[8/3-1/8/3]
=0.41

[(c)の解]f_x(X)=∫_yf(x,y)dy=∫[0..2]5xy^2/16dy
=5x/16[y^3/3]^2_0=5x/16(8/3)=5x/6

で(c)の解が間違いだったのですが正解が分かりません。
正解はどのようになりますでしょうか?

宜しくお願い致します。

[Q]The random variables X and Y have a joint probability density function given by f(x,y)=cxy^2 for 0<x<y<2 and 0 elsewhere
a) Find c so that f is indeed a probability density function.
b) Find P(X<1,y>1/2).
c) Find the probability density function of X.

[問]確率変数XとYはf(x,y)=cxy^2(0<x<y<2でそれ以外は0)で与えられた同時確率密度関数を持つとする。
(a) fが本当に確率密度関数であるようなcを求めよ。
(b) P(X<1,Y>1/2)を求めよ。
(c) Xの確率密度...
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Aベストアンサー

うーん、前回の質問といい、なぜ前の2問ができてこれを間違うのでしょう?
発展問題というより、視点を変えただけで難易度も考え方も同じです。
今回は前回よりは勘違い度が低いのできちんと書いておきます。

f(x,y)=cxy^2(0<x<y<2でそれ以外は0)
なのですからyの積分範囲は下限x,上限2ですね。

5x/16∫[x,2]y^2dy=5x/16 * [y^3/3]^2_x=5x/48 * (8-x^3)
(=5x/6-5x^4/48)

Q夏祭りで和太鼓だけ生演奏なのは何故

近所の夏祭りでは炭坑節やジンギスカンが流れますが、
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しかし、毎年必ず和太鼓が入るのなら和太鼓も生演奏ではなく録音にしてしまっても良いと思います
和太鼓の音を特に大きくしたい場合も今のオーディオ機器なら編集できるだろうし
それともすでに和太鼓を使わない録音だけの地域もあるのでしょうかね
とにかく理由が知りたいので情報宜しくお願いします。

Aベストアンサー

 もちろん本来は全て生演奏です。現在でも生演奏の盆踊り大会はあちこちであるはずです。
太鼓・ギター・ベースというのが基本だと思います。これももちろん今ではエレキギターってことでしょうが。
しかし一般的にはプロのバンドを招聘する以外は町内のおっちゃんがするわけで、演奏するメンバーの減少や、技量の問題などでせめて太鼓だけは生演奏ってことになってます。カセットテープが普及する1970年代なかば以前はレコードでしたし、レコードが普及する以前は生演奏だったのでしょう。
 
 我町の盆踊りも数年前にカセットテープからやっとCDとなりました。そういうレベルの小さな村社会での盆踊りで質問者さんがおっしゃる「今のオーディオ機器なら編集」できるような機器を購入するお金や、それを使える人がいないのも事実ですし、なんといってもやはり演奏するメンバーが素人とはいえ生太鼓演奏の迫力はすごいと思います。

Q確率変数Xが平均0、分散1の標準正規分布に従うとき、|X|の確率密度関

確率変数Xが平均0、分散1の標準正規分布に従うとき、|X|の確率密度関数、平均、分散を求め方と答えを教えてください;;
急ぎの問題で、大変困っておりますので、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

fがXの確率密度関数 ⇔ Pr[X < t] = int[-∞,t]f(x)dx

この場合、|X| < 0となることはないから Pr[|X| < 0] = 0
Pr[|X| < 0] = int[-∞,0]g(x)dx = 0 ⇒ g(x) = 0 when x < 0


そのガウス積分は、計算する必要ないですよ。
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V[|X|] = 1 - 2/π

Q等比数列の和について

簡単な質問ですみません。
等比数列の和の公式で、たとえばある等比数列の和をSとして公比をrとしたとき等比数列の和Sに公比を掛けて差(S-rS)をとるのですか?
なぜ差をとると等比数列の和になるのですか?公式を覚えてしまえば簡単なのですが・・・

すみませんがよろしくおねがいします。

Aベストアンサー

こうすることで初項と末項以外の項を消すことができるから。

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.


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