高校数学の勾配に関する問題の別解について　3-17

Question

傾いた平面上で、もっとも急な方向の勾配(傾き)が1/3であるという、今南北方向の勾配を図ったところ

1/5であった、東西方向の勾配はどれだけか

別解の解説は東西方向の勾配を1/aとし斜面上の点Oから水平面上で東にa、北に5進んだ点をそれぞれA,Bとすると図のように水平面上の長方形CDEFをとることができる　このとき、OC=4で△OAD∽△BOCであるから、a:3=5:4でa=15/4　よって求める勾配は4/15である

とあるのですが、まず図を見て東、北方向が長方形CDEFとずれているのですが、これを例えば東方向をCDと一致させたりしたらまずいのですか？

何か理由があってこのような図になっていると思うのですが、それが分かりません、

それと△OAD∽△BOCとあるのですが、∠C=∠D=90°までは分かりますが、後の角はどうやって等しいと分かるのですか、お願いします

think2nd · Accepted Answer

1.　この部分つまり、「直線PP'の勾配は大きくなる」は間違いです。
　「直線OP'の勾配です」。　まことに勝手ながら、気づくだろうと勘ぐっていました。
　気づかないと、OH=3であることに納得しないと思います。
　Oと直線BAとの距離が最短距離になるのは、OHとBAが90°になるときだ、と話が続いているのです。

これはH以外のBA上の点だとOとの距離が3より大きくなってしまって傾いている平面OEF
の勾配は1/3より小さくなるという確信を持てるかです。←　証明できますよ。

2.No.8の解答をよく読んでください。⊿BOHと⊿AOHが相似であることをいうのに、2つの直角三角形
　⊿AOBと⊿HOBに注目して∠BOH=∠OAHであることを言っているのです。←ここがわからないので
　　しょう。
　
　この2つの直角三角形⊿AOBと⊿HOBについて、三角形の内角の和が180°になることを使えば,
　∠BOH=∠OAHであることがわかります。(∠ABOが共通ですからね。)
 
　　さて、⊿BOHと⊿AOHが相似であることをいうのが目的ですから、⊿BOHと⊿AOHが直角三角形であることを付け加えれば、、⊿BOHと⊿AOHは相似ですよ。←何をよりどころにして、この主張をしているのでしょうか。

このことからOB:BH=AO:OHが言えるのでaがわかりますから東西方向の勾配がわかります。

以上

PS.
　　話変わって、本題に行きます。

なぜあなたに、NO8.を送ったかというと、貴方の、初めの、質問に、
　　貴方が"なるほどとガッテン"と悟ることを期待したのでした。
　　私が言うと何にもなりません。
　　どうも・・・言わなければならなくなりました。
　　　No8.の図を見てください。ここで直角三角形OHGを線分ABに沿ってそのまま点Aまで
　　平行移動してください。GはEと重なります。
　平行移動して頂点Oが移った点をDとし、同じ平行移動をHがBに重なるまで移動して、移動した
　頂点Oの点をCとします。移動完了しましたから、⊿OHGを消滅させてください。
　　どうですか、長方形CDEFだけが見えるはずです。これが、別解の図です。
　　だから、ずれているのは自然です。しかもこの平面の最大勾配は1/3で、条件に当てはまります。
　なお別解は、aを求めるため、相似三角形を見つけようとしているのです。どうやら、⊿ODAと⊿OCBが相似のようだと、その証明作業に取り組む流れですよね。
　相似であることは、∠BOC=α、∠AOD=βとおいて、たとえば∠CBOがβになることを言えばいいんじゃないでしょうか。(三角形の内角の和が180°であることを使います。)

以下はつまらないザワ事ですから、理解してからよんでください。

数学はゲームですから想像力と作戦が頭を巡り、しかもルールの範囲内で自由に動き回れます。

あなたの配信した質問の画像を見てください。
　　⊿OCBと⊿ODAをそれぞれ　辺OBとOAを軸にして線対称に移してみてください。
　あれ、私が送った、画像になっちった。ホント?
　　これで振出しに戻るから、またゲーム開始でしょうか←　悪い洒落です。気にしないでください。

tknakamuri · Answer

〉CDEFは水平な面ですよね、

水平面はABCDです。解法も写し間違ってますね。

think2nd · Answer

「まず図を見て東、北方向が長方形CDEFとずれているのですが」という疑問が、この別解の本質であり、アイデアではないでしょうか。
　解法の発想の解説をすると深みに入りまた疑問を作り、長くなりますから、避けるため添付画像で説明します。しかし、これもまた疑問を生み出します。そこを別解は普通に乗り越えてます。だからすごいです。
　さて　貴方は次のことを知っているものとして話します。
　　　1　相似とは何か。を知っている。また2つの直角三角形が相似ならば、それを証明できる。
　　　2　比とは何か。を知っている。またa:b=c:dという関係式を作ることができる。しかもa/b=c/d
     とも表せる。
　　　(クイズ　2/3は何分(なんぶん)の1でしょうか。)
　　　3　三平方の定理を使える。
　　　4　問題に没頭できる自分を知っている。

"今南北方向の勾配を図ったところ1/5であった、"を突破口にしてFが決定されて図を書い
　　てみました。下の添付画像です。
　　点Hは直線ABと点Oとの最少距離にある点です。・・・※
　　このとき最大の勾配になる。
　　[ くどく言うと、直線AB上にあるどんな点でも(仮にPとすると)点Oと点Pとの距離が短ければ短いほど点Pの1だけ頭上のFE上の点をたとえばP'とすると、直線PP'の勾配は大きくなる。OPが最少になるのは
　　OPがABと垂直になるときでその点をHとした。このとき直線OGの勾配が最大になる。だから、OH=3となる。]

さて　話は戻って　勾配が比ですからBF=HG=AE=1です。もちろんこれら3本の辺は
　　A,O,Bを含む平面に垂直です。
　　⊿OABに着眼点を移します。なぜなら、欲しいのはaの値だからです。なおこの三角形が直角三角形であることは前に説明したとおりです。
　　　ここで⊿OHBと⊿AHOが相似になります。・・・(1)
　(∠BOHと∠BAOが等しいことは⊿BOHと⊿BOAに着目すれはわかるでしょう)
　(1)を証明してください。
　あとは三平方の定理と比を利用してaが求まります。
　以上ですが。
　　以上までの話を読んで、から別解に、チャレンジすると、解法の裏が見えてくるように思えましたので
一応返信いたします。

tknakamuri · Answer

>でも例えばFBとEAの中点をG,HとするとCGやDHはABCDに対する角度が最大ではないですが、
>CDと直交していますよ？、最大勾配以外の場所でもCDと直交するということになりますよ？

うーむ、ひょっとして CDEF が最大勾配を求めようとしている平面そのものだということに
気が付いてない?

tknakamuri · Answer

ABCD が 机、CDEF がま長方形の下敷き　ではイメージわきませんかね。

CF や DE は 長方形ABCD に対する角度が最も大きくなる(勾配が最も大きくなる)
線で、CD と直交している。
＃実際に机の上で下敷きを図のようにおいてみてください。

北や東方向は、最大方向に比べてゆったりしてますよね。

山の斜面を直登すればきついが、斜めに切られた山道を行けばらくちんということ。

think2nd · Answer

ごめんなさい。東西方向の勾配は1/OEでなく、1/OAです。(OA=a)
線分AEも、BFも長方形ABCDに垂直に立っているわけです。
　∠BOAが90°なのは、証明するまでもありません。あなたの図で、貴方が、点Oに立って北を向いてから今度その場で東を向いてごらんなさい。90°回転するでしょう。
また∠C=∠D=90°なのも長方形ですから、自明です。
　問題はaを求めることですから、長方形ABCDに集中します。
どのように求めるかというと、⊿AODと⊿OBCに着目してるわけです。・・・※
　この2つの三角形が相似であることを、見抜ければ、aが求まる、という流れです。
　問題を正しく解釈して、たどり着く所はどこかを意識しないと、迷子になって、ほかの場所に行きつくことになるのと同じです。

もう一点、私も勘違いしていました。
　実は　あなたが「CDと一致させたりしたらまずいのですか？」
　と言っていますが、どのように一致させるのですか⊿AEDと⊿CBFが重なって前進しません。
　
　あなたの、この文を私は、過去問を思い出して、勝手に⊿OAEと⊿OFBについて着目しようとしていると解釈してしまいましたから、意味不明の回答になってしまいました。
　だから確か東大の過去問は⊿OAEと⊿OFBに着目して線分AEとBFを一致させて解くのでした。
失礼しました。

tknakamuri · Answer

>CD は勾配が最大になる方向に直交します。
>それは、何で言えるのですか？

坂(平面)とXY平面が交差するところが CD。これに垂直な方向が最も坂が
きついことは直感的には明らか。

＃山を頂に向かってまっすぐ上に登ってゆくのが最もきついということ。

そこを厳密にやると、ちょっとめんどくさそうですね。
元の解法の方が楽。

think2nd · Answer

問題に、没頭すれば、解説が理解できるよ。
しかも、ピタゴラスの定理と直線の傾きを知っている中学生レベルの問題ですね。
別解でない方に、興味あります。
　(1)図の描写が、わかりやすい。(まさに最適な図です。)
　>図を見て東、北方向が長方形CDEFとずれているのですが、これを例えば東方向をCDと一致させたりしたらまずいのですか？
　全然まずくない、(やってみてください、ご自身で解いた後、この別解の解説図を鑑賞してください。感動します。)
　　しかし問題追求心があれば、明快な図を書こうとします。
　
　(2)　一番急な勾配1/3をAD=3、高さをAE=BF=1として、書き出していることと、CD、ABを書いているところが発想力であり、最初の一歩です。

もう高さを1にしているからこの図はいりません。　
　だから真上から見下ろした図のほうがわかりやすい。
　ポイントは、直角三角形と90°が多いことです。
　　　∠BOAがなぜ90°かわかりますか。　　
　　　納得すれば　△OAD∽△BOCになることは、証明できます。
　　(添付した図をみて、やってみてください。)
　　　　
　　東西方向の勾配は1/OEですから、できます。
　
　確かこの問題の逆を東大入試で出したことがあると思います。
　この問題のときはあなたの発想が解法の第一歩になります。

tknakamuri · Answer

>まず図を見て東、北方向が長方形CDEFとずれているのですが、
>これを例えば東方向をCDと一致させたりしたらまずいのですか？

CDEF は元の図の OAB を含む平面。つまり、CD は勾配が最大になる方向に直交します。

＞△OAD∽△BOCとあるのですが

BOA が 90度だから、角度○＋角度●=90度。△OAD、△BOCは直角三角形だから、あとは
簡単ですよね(図に書いてあるし)。

f272 · Answer

> これを例えば東方向をCDと一致させたりしたらまずいのですか？

それはもっとも急な方向が南北方向だと決めたことになります。

> 後の角はどうやって等しいと分かるのですか、お願いします

Oのところに集まっている３つの角の和は180度です。（直線だから）
また△OADの内角の和も180度です。（三角形だから）
これだけ言えばわかるでしょ。

高校数学の勾配に関する問題の別解について 3-17

1. この部分つまり、「直線PP'の勾配は大きくなる」は間違いです。

この回答への補足

〉CDEFは水平な面ですよね、

この回答への補足

「まず図を見て東、北方向が長方形CDEFとずれているのですが」という疑問が、この別解の本質であり、アイデアではないでしょうか。

この回答への補足

>でも例えばFBとEAの中点をG,HとするとCGやDHはABCDに対する角度が最大ではないですが、

この回答への補足

ABCD が 机、CDEF がま長方形の下敷き ではイメージわきませんかね。

この回答への補足

ごめんなさい。

この回答への補足

>CD は勾配が最大になる方向に直交します。

この回答への補足

問題に、没頭すれば、解説が理解できるよ。

この回答への補足

>まず図を見て東、北方向が長方形CDEFとずれているのですが、

この回答への補足

> これを例えば東方向をCDと一致させたりしたらまずいのですか？

この回答への補足

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ABCD が机、CDEF がま長方形の下敷き　ではイメージわきませんかね。