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自動制御には何故ラプラス変換を利用しますか。例えば、ブロック線図を解くためにラプラス変換の使う理由は何ですか。どんな特徴を持つのか。他の定理、例えばフーリエ変換などがあっても何故ラプラス変換を使うのか。

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A 回答 (4件)

簡単に言えば、自動制御にラプラス変換を使うのは


s領域からt領域(時間領域)に簡単に変換でき、
t領域における微分方程式が単に代数演算に帰し、計算が容易になるためです。フーリエ変換は自動制御では使えません。なぜならば一般にフーリエ積分は有限確定値にならず収束しません。ラプラス変換は任意の関数f(t)(持続信号)に対し、収束させるために積分核は純虚数に任意の実数を付加させています。これに対しフーリエ変換は虚数だけなので、収束しません。取り扱える関数f(t)(信号)はエネルギー有限な関数(信号)だけです。この意味において有限区間の正弦波、パルスなどの関数のみ取り扱うことができますが、自動制御などに使われる関数
(信号)では使用できません。
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確かにANo.#2の

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=770325 に書かれているが、少し散漫となっていてわかりづらいのかもしれない。以下、ポイントを記す。

>…ブロック線図を解くためにラプラス変換の使う理由は何ですか。どんな特徴を持つのか。
ある線形伝達関数G(s)=L{g(t)}[ここでL{g(t)}とはg(t)のラプラス変換]にx(t)が入力されたときの出力 y(t)を求める。X(s)=L{x(t)}, Y(s)=L{y(t)}とする。時間領域で考えるとき、注意しなければいけないのはキャパシタンス、インダクタンス、抵抗等といった線形素子でもエネルギーの蓄積・放出・消耗があり、このため時刻t(≧0)でも0≦τ≦t として、過去τの履歴が問題となるのだ。線形系だから、インパルス応答の「重ね(合わせ)の理」が成り立つ。t = τとき印加されたx(τ)のインパルス成分に対し、時刻tでτはt - τだけ過去になっておりg(t - τ)x(τ)の応答となる。線形系なのでこれを重ね合わせで積分すればよい。即ち、y(t)= g(t)*x(t) =∫(τ= 0 to t) g(t-τ)x(τ) dτ…(1)。これがconvolution (畳み込み積分、合成積)である。つまり時間領域で応答出力は合成積 *となるのである。これに対し、周波数領域でのラプラス変換では(調べればわかるように、習ったと思うが)、Y(s)= G(s)X(s)…(2)と、(カスケード接続された)通常の代数積となるのだ!!これこそが最大の理由・特徴だ。

>…例えばフーリエ変換などがあっても何故ラプラス変換を使うのか。
フーリエ変換はi) t = - ∞~∞ ii) s = iω (jωと書くときもある。)で考える。これに対し ラプラス変換ではi)’t = 0~∞ ii)’s = -σ+ iω で考える。
初期値をt=0で考えられ、sは(微分演算子として以外に)複素周波数(としての意味もあり、このときで実数部分で減衰項としての-σ(通常σ≧0)を扱えるのが、広く電気工学等で使われる理由だ。なお、ラプラス変換のミクシンスキーの演算子法の扱いもある。 
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このサイトのココに明快な解説が載っています。


      ↓
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=770325
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参考程度に


ラプラス変換は時間tが正の領域で定義されているので自動制御や過渡解析に便利だからです。
過渡解析に負の時間は必要ないですからね。
フーリエ積分表示は時間が負から正の全区間ですね。
その意味でラプラス積分は半区間フーリエ積分ですね。
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Qラプラス変換とフーリエ変換

ラプラス変換とフーリエ変換はそれぞれ何を求めるものなのでしょうか?
基本的なことで申し訳ありませんが宜しければ教えて下さい。

Aベストアンサー

 ラプラス変換は、元はと言えば線形微分方程式を解くテクニックとして発達し、これがあんまり旨く行くもんだからきちんと研究して理論体系ができた、という経緯を持っています。
線形微分方程式てのは関数f(t)をtでn回微分したものをf^(n)(t)と書くとき、係数a[i]を掛けて
a[n] f^(n)(t) + a[n-1] f^(n-1)(t)+......+ a[0] f(t)=g(t)
という形に表される微分方程式です。
f(t)のラプラス変換をF(s)としますと、「fをtで微分したもの」はsF(s)となります。「微分する」を掛け算に変換できるから、微分方程式がただの多項式の方程式に変換されてしまう訳です。この多項式の方程式を解いて、答えを逆変換すればf(t)が得られます。
 このように、ラプラス変換の結果を直接利用するのではなく、変換して問題を解き、その答を逆変換で元の世界に引き戻す、という使い方が主です。
 また、f(t)はt>0の部分だけ考ます。tは時間を表すと解釈される事が多く、信号処理の分野で大いに使われます。なお、ラプラス変換のデジタル版はz変換と言います。

 フーリエ変換は、元はと言えば、伝熱方程式を解く方法として開発された。伝熱方程式は熱が伝わるさまを表す偏微分方程式です。(しかし、これでどうやって伝熱方程式を解くのか、すぐには分からないだろうと思います。)フーリエ変換はラプラス変換の一種と言っても良いぐらいよく似た変換であり、ラプラス変換と同様、変換して問題を解き、その答を逆変換で元の世界に引き戻す、という使い方ができます。
 しかし、周期関数をフーリエ変換することは、周波数成分への分解(フーリエ級数展開)という、分かりやすい意味を持っており、これは丁度、光をプリズムで成分に分解することと同じです。
 フーリエ変換のデジタル版はDFT(デジタルフーリエ変換)と言います。DFTを計算する早いアルゴリズムFFT(高速フーリエ変換)がとても有名なので、フーリエ変換、DFT、FFTを混同する方がしばしばいらっしゃいますけれども、これらは別の概念です。

 ラプラス変換とフーリエ変換、両方に共通する重要な性質として、コンボルーション定理があります。
 コンボルーション(convolution、重畳積分、畳み込み)とは
 h(t)=∫f(t-x)g(x) dx (積分は定積分)
によって二つの関数f,gを組み合わせる操作です。電気回路で入力信号f(t)にフィルターg(t)を作用させて出力信号h(t)を作り出すことはこの式で表されます。(この場合、積分はx=0~∞もしくはx=-∞~∞)。また、画像f(p,q)にフィルターg(p,q)を作用させて平滑化や先鋭化を行うのも同じ式で表されます。(この場合、積分はp,qそれぞれについて-∞~∞の範囲の定積分となります。)
 f,g,hをそれぞれラプラス変換、あるいはフーリエ変換したものをF,G,Hと書くとき、
H(s)=F(s)G(s)
が成り立つ、というのがコンボルーション定理です。コンボルーションが単なる掛け算に変換できるので、計算しやすくなる、ということの他に、
 F(s) = H(s)/G(s)
によって、フィルターgで変化させられた信号hから元の信号fを再現するのにも利用できます。

 これらの変換によって、微分・積分・コンボルーションなどを簡単な演算に置き換えて取り扱える、という性質は、「演算子法」という分野と密接な関係にあります。また、超関数論と密接な関係があり、これによってf(x)=x^2のような、普通の意味ではラプラス変換やフーリエ変換ができない関数にまで対象を広げることができ、これらの変換をとてもすっきりと整理して理解できます。

 ラプラス変換は、元はと言えば線形微分方程式を解くテクニックとして発達し、これがあんまり旨く行くもんだからきちんと研究して理論体系ができた、という経緯を持っています。
線形微分方程式てのは関数f(t)をtでn回微分したものをf^(n)(t)と書くとき、係数a[i]を掛けて
a[n] f^(n)(t) + a[n-1] f^(n-1)(t)+......+ a[0] f(t)=g(t)
という形に表される微分方程式です。
f(t)のラプラス変換をF(s)としますと、「fをtで微分したもの」はsF(s)となります。「微分する」を掛け算に変換できるから、微分方程式...続きを読む

Q伝達関数ってどういうものですか?

伝達関数とは出力のラプラス変換したものを入力のラプラス変換したもので割ったものであると定義されますが
これは単にその回路の増幅率の周波数応答を表した式だと考えて良いのでしょうか?

もし伝達関数に虚数が出てきた場合などはどう考えれば良いのでしょうか?

Aベストアンサー

伝達関数G(s)とすると
s=jω(ω:角周波数,j:虚数単位)
ω=2πf(f:周波数)
とおくと
G(jω)は複素数になります。
G(jω)=A(ω)e^jφ(ω)=a(ω)+jb(ω)
とおくと
A(ω)=|G(jω)|
φ(ω)=arctan(b(ω)/a(ω))
a(ω):G(jω)の実数部
b(ω):G(jω)の虚数部
となります。
伝達関数の利得(ゲイン)特性とか振幅特性は
20log_10 A(2πf) [dB] (または 20log_10 A(ω)[dB])
で表します。横軸に片対数軸で周波数f[Hz]を取り、
縦軸に[dB]単位の上記の式の値をプロットしたものを
利得(ゲイン)特性とか振幅特性と呼びます。

位相特性は
φ(2πf)を横軸に片対数軸で周波数f[Hz]をとり、縦軸にφ(2πf)をプロットします。
位相特性の単位は無次元ですが角度ですので [°(度)]または[rad(ラジアン)」とします。

> 伝達関数に虚数が出てきた場合などはどう考えれば良いのでしょうか?
複素伝達関数G(jω)=G(j2πf)は、上記に説明したように
G(jω)=A(ω)e^jφ(ω)=a(ω)+jb(ω)
となります。
虚数部があればb(ω)の項やφ(ω)がゼロとならないため、
位相特性が0でなくなり、周波数f(ω)の関数となります。

複素伝達関数に虚数部がでてきた場合は
振幅特性だけでなく、位相特性φ(2πf)(またはφ(ω))とセットで考えればいいでしょう。

伝達関数G(s)とすると
s=jω(ω:角周波数,j:虚数単位)
ω=2πf(f:周波数)
とおくと
G(jω)は複素数になります。
G(jω)=A(ω)e^jφ(ω)=a(ω)+jb(ω)
とおくと
A(ω)=|G(jω)|
φ(ω)=arctan(b(ω)/a(ω))
a(ω):G(jω)の実数部
b(ω):G(jω)の虚数部
となります。
伝達関数の利得(ゲイン)特性とか振幅特性は
20log_10 A(2πf) [dB] (または 20log_10 A(ω)[dB])
で表します。横軸に片対数軸で周波数f[Hz]を取り、
縦軸に[dB]単位の上記の式の値をプロットしたものを
利得(ゲイン)特性とか振幅特性と呼び...続きを読む

QP制御、PI制御、PID制御それぞれメリット、デメリットを教えてくれま

P制御、PI制御、PID制御それぞれメリット、デメリットを教えてくれませんか?
レポート課題で困っています。調べてみたが良くわかりませんでした。

Aベストアンサー

制御の基本は、P(比例)動作ですが、P動作だけでは通常オフセット(目標値との残留偏差)が生じます。このため、P動作のオフセットを無くすため、I(積分)動作を加え、設定値との偏差をなくすようにします。また、D動作を加えることにより、偏差を単時間に修正することができますが、積分時間を短く設定しすぎると、ハンチングが起きやすく、安定した制御が得られなくなります。D(微分)動作は、偏差の少ないうちに大きな修正動作を加え、制御結果が大きく変動するのを防ぐことができるます。ただし、微分時間を長く設定しすぎると、小さな変化に対しても、大きな出力が出てしまう為、ハンチングが生じ、制御性が安定しなくなります。

詳しくは、以下のURLを参照のこと。

参考URL:http://www.compoclub.com/products/knowledge/jidou_seigyo/jidou_seigyo4.html


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