行列式の起源

つい先ほど行列式の定義(Σ,sgnを使うもの)についてやっと理解したところなのですが、ああすればこういった行列式を定義すると他の計算がうまくいくなんてどうやってうまれてくるのでしょうか。
ただ各行各列から成分を1つずつ取り出し、それらの積に添字についてのsgnを行っただけで、例えば2次の場合、「あっ、こうすれば逆行列求める時に使えるad-bcになるじゃん。」といったような簡単な発想から生まれたのでしょうか。
それとも、行列のad-bcからこのような計算になるようなものはないかといきついた結果なのでしょうか。
それともどちらとも違うのか・・・。
定義の計算方法については理解できたのですが、実際にそれを使うとなるとなぜ適用できるのかまったく理解できません。
疑問に思うことをまとめると、
・どのような発想から行列式の定義のあの式はうまれてきたのか
・2次は実際に逆行列を求める際にad-bcとなるので、行列式をそのまま使えるが、3次以上はなぜ適用できるか、そもそも具体例がわからない
どなたかわかる方いましたら回答よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2014/12/28 12:49

　昔は多元連立一次方程式を系統的に解く事は、大目標でした（実用的には、今でもそうです）。

なので、2元連立一次方程式，3元連立，4元連立，・・・と、n元連立の一般的な形を地道に手計算で解いて行った訳です。その過程で当然、2次の行列式，3次の行列式，4次の行列式，・・・も計算しました。

　以前調べた事があるのですが、少なくとも6次の行列式までは、[ad-bc]タイプの展開公式があります。5次の行列式なんて5×4×3×2＝120項、6次の行列式にいたっては720項も出てきますから、気の遠くなるような計算ですが、昔はコンピューターなんてなかったので、粘り強く手を動かした結果です（やくやったよなぁ~(^^;)）。

　しかしそこまでやれば、法則性が見えてきます。

　　detA＝Σsgn(i1，i2，・・・，in)・a[1,i1]・a[2,i2]・・・・・a[n,in]　　　(1)

はまさに定義用の式でして、先人の努力により、もっと使いやすい表現があります。(1)で和をとりにくい最大の原因は、添字i1，i2，・・・,in＝1~nが独立に1~nの範囲を動けない事です。

　　detA＝Σi1Σi2・・・Σin ε(i1，i2，・・・，in)・a[1,i1]・a[2,i2]・・・・・a[n,in]　　　(2)

　(2)のΣi1などは、添字i1について1~nの範囲で、i2，i3，・・・と関わりなく和を取れ、という意味です。そうすると(2)のa[1,i1]・a[2,i2]・・・・・a[n,in]の添字i1，i2，・・・,inは、1~nの間を動く、スロットルマシーンのn個の窓と同じ状態になり、非常に考えやすくなります。

　上記を可能にするために現れたのが、エディントンのイプシロンと言われる、ε(i1，i2，・・・，in)です。これはsgn(i1，i2，・・・，in)と実質的に同じなのですが、違いは、i1，i2，・・・，inの中に重複する番号があっても定義され、その場合は0になると決めた事です。そうでない場合（i1，i2，・・・，inの番号が全部違う場合）は、sgnと一致します（そう決めた）。

　たったこれだけの事で、(2)の積和は形式的には、

　　(a11＋a12＋・・・＋a1n)(a21＋a22＋・・・＋a2n)・・・(an1＋an2＋・・・＋ann)　　　(3)

に対応します。例えば2次なら、

　　(a＋b)(c＋d)＝a(c＋d)＋b(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd

ですが、(2)ではこれにエディントンのイプシロンがかかり、

　　detA＝ε(1,1)・ac＋ε(1,2)・ad＋ε(2,1)・bc＋ε(2,2)・bd

εの定義から、ε(1,1)＝ε(2,2)＝0，ε(1,2)＝1，ε(2,1)＝－1なので、

　　detA＝ad－bc

が得られます。

　このようにして行列式の計算法は整備され、特に(2)を用いて行列式の特徴的な性質が導かれた後（計算しやすいので）、行列式による連立一次方程式の解の表現であるクラーメルの公式が導かれます。

　　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9% …

　これは恐らく、20世紀以前の数学の大成果の一つです。で参考URLの形は、2元連立一次方程式，3元連立，4元連立，・・・と、n元連立の一般的な形を地道に手計算で解いて行った過程で、既に予想されていたんですよ。地道な努力の賜物ですよね(^^;)。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

3次はサラスの法則を知っているのでわかりますが、6次まであったんですね。意外です。
今頑張っている方もそうですが、昔の方もなかなか根気強い人がいたんですね・・・(笑)

エディントンのイプシロン、初めて知りました。
行列式の定義を理解した上だったので、そちらの理解はすんなりできました。
クラーメルの公式は使い方はわかったものの、面倒くさくて証明を飛ばしていたので、参考サイトも参照しつつまた見直してみます。

結局は地道な方法で法則を割り出したわけですか、といっても法則なんてものはほとんどそうですよね。
いろいろと興味深い話が聞けてよかったです、ありがとうございました。

お礼日時：2014/12/29 23:37

No.5 回答者： Water_5 回答日時： 2014/12/30 13:32

(a11＋a12＋・・・＋a1n)(a21＋a22＋・・・＋a2n)・・・(an1＋an2＋・・・＋ann)・・・・・・・・(3)

普通は、（３）式の展開は分配法則にしたがって
バラバラに分解するのが自然の流れだ。

しかし、これを行列式の定義に使うためにはエディントンの
イプシロンε(i1，i2，・・・，in)を使う必要が出てくる。

これの意味は重複項が出てきた場合、例えば以下のとき
ε(i1，i2，i3、２、２、i6、・・・，in)＝０・・・・（４）となる。

このように決めておくと、（３）式は行列式の定義と
一致する。

クラメールの公式からわかるように（４）式がかかる
項目は引き算されてその項目は存在しないのだ。

分母の行列式の中には削除されて重複項は存在しない。

この回答へのお礼

何度もすみません、回答ありがとうございます。
また、返事が遅くなりました。

分配法則から重複項の非存在性、当然のことながらそこまで考えていなかったです。
わかりやすく説明していただきありがとうございました。

お礼日時：2015/01/18 17:39

No.4 回答者： Water_5 回答日時： 2014/12/29 16:40

detA＝Σsgn(i1，i2，・・・，in)・a[1,i1]・a[2,i2]・・・・・a[n,in]・・・・・(1)

（１）式は定義式ですが、これがわかりましたか。

２次の場合を（１）式でやってみたらよいです。
３次の場合は一行についての２次式の展開になり
これは代数的余因子公式と同値になります。

n=kで成り立つのでn=k+1も成り立つ数学的帰納法で
（１）式が証明できますね。

”sgn(i1，i2，・・・，in)”の意味ホントにわかってますか。

これって　１　or　－１しかないんですよね。
たったそれだけの事のにすぎないのですが。

しかし、それでも愚置換、奇置換、反転等を理解しておく必要ありますよ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

行列式の定義ですが、自分の言葉で説明させていただくと、
n次正方行列において、各行から各列の添字がかぶらないように1つずつ要素を取り出し、その積を計算する。
また、1行目から順に取り出した要素の列の添字を並べ、その転倒数によって、偶順列なら1、奇順列なら-1と定義したsgn(・・・)をそれぞれの積にかけ、すべての順列の和をとったものが行列式だと解釈しております。
なにやらわかりにくい、拙い日本語で申し訳ないです。
余因子行列については計算法しか学んでいないため、もう少し深く勉強してみることにします。

今自分の質問を見返してみたんですが、質問の仕方が悪かったですね。
3次以上に関して、なぜその行列式が定義できるのか、ともしかしたら思われたかもしれませんが、言いたかったのは3次以上でもなぜその行列式が連立方程式を解くための道具として使えるか、ということでした。
多分これは#3さんが回答してくれた通りですかね。

お礼日時：2014/12/29 23:54

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/12/27 13:38

多重線形性を調べてみることをお勧めします。

行列式は多重線形性から自然に導かれるものなんです。

また多重線形性には明確な幾何学的な意味もあります。
まずは線形代数学の教科書で堪能してください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

多重線形性には幾何学的な意味もあるんですか。
ちょっと興味沸いてきました。調べてみます。

お礼日時：2014/12/28 17:58

No.1 回答者： hashioogi 回答日時： 2014/12/27 13:28

満足いかない回答と思いますけど、

現在はまず行列を習って、その後に行列式を習うという順序が普通ですが、歴史的には後者が先に生まれたと書いてある本を読んだことがあります。
行列はmatrixですが行列式はdeterminantですね。どうして英語では関連がなさそうな単語になるんでしょうか？　determinantはdetermineに関係ありそうですね。何を決定するのかと言えば連立方程式に解があるかどうかを決定するということのようです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

当たり前のように行列を先に習っていたし、直感的に行列の方が理解しやすいため先だと思っていましたが、行列式の方が先というのは驚きですね。
やはり行列式が使えるのはn次正方行列が成立する連立方程式の解以外には特に使うことはないのですね。

お礼日時：2014/12/28 17:56