物理と数学の違いについて。

一応理科系の教育を受けた人間ですが、物理学や数学を正式に勉強したことのない素人の素朴な疑問です。

この世の状態や現象は簡単な数式で綺麗に表現されることが多いです。

観測可能な範囲で、状態や現象が綺麗に数式で表現可能だと、観測可能の範囲を超えて数式上のあらゆる点が物理的に存在するのではないかという誘惑にかられることがあります。

しかし、物理現象は数式で表現される可能性が高いが、数式で計算される状態や現象が実際に物理現象として可能かどうかは別問題だと思います。

そこで、物理学を広くご存じの専門家にいくつかの質問をさせていただきます。

質問(1)：二つの物体があって、その物体間の距離がゼロになることは無い。（正・誤）
質問(2)：統計力学上、負温度を用いると数式が綺麗になるが、現実の世界（＝物理）では負温度は存在できない。（正・誤）
質問(3)：ブラックホールに（事象の地平面の内側に）質量が無限大になる数式上の特異点があると想定すると数式が綺麗であるが、これは現在の数式が物理現象を完全に表現できていないがゆえの誤解であり、現実の世界には特異点（＝この場合は質量が無限大の”場所”）は存在しないと考えるのが妥当である。（正・誤）

物理学のご専門の方々より、素人向けに解説をいただけると有り難いです。

No.1 回答者： shintaro-2 回答日時： 2014/12/28 20:45

>質問(1)：二つの物体があって、その物体間の距離がゼロになることは無い。

（正・誤）

定義次第

例えば表面が清浄な金属槐を真空中でくっつければ
原子レベルでくっつきますが、

電子と、陽子・中性子との間には相変わらずすきまがあります。


> 質問(2)：統計力学上、負温度を用いると数式が綺麗になるが、現実の世界（＝物理）では負温度は存在できない。（正・誤）

絶対温度であれば負は存在しませんが、
摂氏で考えればあります。

この回答へのお礼

有難うございます。

「負温度」と言うのは熱力学温度の値がマイナスになることの様です。

お礼日時：2014/12/28 21:25

No.2 回答者： doc_somday 回答日時： 2014/12/28 22:12

時々お会いしますが、この門は何処？

バカバカしい。
大学の「教養の物理」の教科書に、間違う「アホ」が居るが、
その様なアホになってはいけない。と書いてある。

抽象的、精密に答えると、この我々の時空、いや
「お前そんな時空を作って意味あるのか？」
「面白いから良いんだ」

空間三次元、時間一次元のこの時空から逃げられない、たとえミンコフスキー時空を導入しても
何の意味も無い。数学は数学でしかない、公理から証明される定理から一歩も外には出られない。

物理は「観測事実」であって、変な現象が見つかると簡単に「崩壊」してしまう。可能性は二つ。
１)そう見えないのは「場の量子論」が古典論を良く摂動でカバーしているから。
２)我々の「思考、因果律」さえ時空に支配され「他の数学は排除されている」恐いよ。

質問３)だけ素人だが一応の物理的解釈をする、これは数学の摂動でしか無い。
ホーキングとペンローズは「裸の特異点は無い」という「監視員」仮説を提案した、
もう四半世紀も経つのに、だれもこれに触れ様としない。非常に異様だが逆転出来ない。
もちろん五次元(空間三次元、時間一次元の外側の仮想的な視点)に立つと、
三次元の降着円盤(拡張された二次元)が見える、だが「裸の特異点」はまるっきり
分からない。数学的に「存在出来ない」と証明されると思う。

この回答への補足

バカバカしい質問で恐縮ですが、それぞれの問いを下記の様に言い替えてみてはどうでしょうか？

質問(1)´：一般的に「距離」という名称の物理量は、値としてゼロを取るか？
質問(2)´：一般的に「熱力学温度」という名称の物理量は、値としてマイナスを取るか？
質問(3)´：一般的に「密度」という名称の物理量は、値として有限値以外を取るか？

補足日時：2014/12/28 23:05

この回答へのお礼

専門家にとってはバカバカしいのですか。

素人にとってはそれほどバカバカしい問いではないのですけど、、。

お礼日時：2014/12/28 22:51

No.3 回答者： Dio_Genes 回答日時： 2014/12/28 22:42

>質問(1)：二つの物体があって、その物体間の距離がゼロになることは無い。

（正・誤）

　設問自体が不適切。マクロな古典物理学で考えるときには、距離がゼロでもよい。ミクロに見たいなら、プランク距離という物理学的に可能な最小距離があることを前提に考えることが必要。その場合、距離ゼロなんてものは無い。

>質問(2)：統計力学上、負温度を用いると数式が綺麗になるが、現実の世界（＝物理）では負温度は存在できない。（正・誤）

　設問自体が不適切。負の温度なる用語は便宜的なもの（反転分布、というほうが実用的かもしれない）。無限大より高い温度が負の（絶対）温度、という表現もあるが、無限大より高いとは何かについて注意が必要。統計力学では絶対温度の逆数β=1/Tをよく用いるのだが、β=0ではT=±∞が接続していることになる。そういう類の話だと思えばいい。

　実験的には負の温度実現に成功したという報告はある。ただし、一部にかなりねじ曲がって伝わっているようで、永久機関が実現できる、などという笑止な話に化けていたりする。

【参考】
・Negative Absolute Temperature for Motional Degrees of Freedom
http://www.sciencemag.org/content/339/6115/52

・Quantum gas goes below absolute zero
http://www.nature.com/news/quantum-gas-goes-belo …

>質問(3)：ブラックホールに（事象の地平面の内側に）質量が無限大になる数式上の特異点があると想定すると数式が綺麗であるが、これは現在の数式が物理現象を完全に表現できていないがゆえの誤解であり、現実の世界には特異点（＝この場合は質量が無限大の”場所”）は存在しないと考えるのが妥当である。（正・誤）

　なんか誤解している設問。特異点は、古典物理学的には質量が有限だが体積が0のため、密度が無限大というもの。質量が無限大なら、宇宙全体がブラックホール内にあることになってしまうことくらい、分かりそうなものだと思う（さらに考えて、全てはその質量無限大の特異点に落下して消滅する、ということにもなってしまい、現実に即さないことが明らか）。

　なお、事象の地平面に覆われない裸の特異点については、数学解がいくつかあるため、不可能とは言い切れない。ただし、裸の特異点が実在するなら、この宇宙が極めて不安定なことは受け入れざるを得ない（※いわゆる「何でもあり」になるため：後述）。ペンローズは宇宙検閲官仮説と呼ばれる、裸の特異点が存在しない、何らかの仕組みがこの宇宙にあると考えている。しかし証明はできておらず、仮説の域を出ていない（※宇宙が安定していることからは、有力であるとは思われる）。

　密度だけとはいえ、体積0であることから発散が生じる。特異点における重力場が記述できず、特異点で何が起こるのか予測は不可能になる。要は数式の項一つでも無限大になれば計算不能であり、物理学的な記述は一切不可能になるということ。物理学的な記述ができないなら、物理学の法則が通用しないということになる。つまり、特異点は何でもありの点ということ。

　このため、ホーキング博士は特異点を量子力学的に見ようとしている（時間の停止した、あらゆる可能性を持った量子だと予想している：量子のあぶく）。もちろん、未だに実現していない。量子重力理論が完成しないと、おそらく手の出しようがない。宇宙の誕生時の状態にも深く関わる、物理学上の大問題ではある。

　考える前にネット検索くらいはしたほうがいいでしょうね。学ばずして思うのは危い。学んで思わない昏さのほうが、まだましでしょう。

この回答への補足

二地点間の距離がゼロになることができなければ、体積がゼロになることもできないし、体積がゼロになることが出来ない以上、有限の質量で無限の密度は取れないと考えるのが素人なのです。

二地点間の距離がゼロに成れないので、ブラックホールの内部にも特異点は存在しないと考えています。

補足日時：2014/12/28 23:00

この回答へのお礼

設問自体が不適切なんですね。
どうもわざわざご指摘ありがとうございました。

お礼日時：2014/12/28 22:48

No.4 回答者： Dio_Genes 回答日時： 2014/12/28 23:20

　#3です。

　学ばずに思うな、とアドバイスしたはずなんですが。あれしきの短文でも無理なんでしょうか。それでも補足でお尋ねですから、できるだけのことは致します。

>二地点間の距離がゼロになることができなければ、体積がゼロになることもできないし、体積がゼロになることが出来ない以上、有限の質量で無限の密度は取れないと考えるのが素人なのです。

　素人を強調するのは駄目でしょう。理系だと自分で言っておいて、突如素人を前面に出すのは不可です。

　マクロとミクロで異なる、そういう回答をしたではないですか。回答読まずに聞き返すのはどういうことなんでしょうか？

>二地点間の距離がゼロに成れないので、ブラックホールの内部にも特異点は存在しないと考えています。

　ホーキング博士のアプローチ、紹介しましたよね。特異点はマクロの物理学（古典的物理学、一般相対論を含む）では体積0です。二点間の距離がゼロになれないのは、ミクロの物理（量子力学）です。そういう回答をしました。

　物理学はきちんとは学んでいない、しかし理系だという前提で、このくらいでいいのではないかと考えて、先の回答をしています。一応は回答を読んでから聞き返してくれませんか。回答読まないんなら、質問する意味がないんじゃないですか？

この回答への補足

長さという物理量がゼロをとることができるのか、それとも最低でもプランク長以上の値をとるのか、という検証はマクロの物理学ではなくて、ミクロの物理学なのではないのですか？

マクロの物理学では極微の「長さ」に関して検証することなく、算術的に最小値＝０と仮説しているだけなじゃないのでしょうか？

従って、二地点間の距離という物理量がゼロを取れるか否かは、マクロのアプローチは有意義でなは無く、つねにミクロのアプローチをとって、最低がプランク長なのか、それともゼロを取るのか考え、ゼロは取らないだろう＝体積もゼロにはならない＝有限の質量では密度は無限になならい。と考えるべきではないのでしょうか？

物理学の専門家はミクロとマクロを上手く使い分けている様で、実際のところ、都合よく問題を回避してるってことは無いでしょうか？

補足日時：2014/12/28 23:49

この回答へのお礼

今回の回答はよく理解できました。
どうもありがとう。

前回の回答は正直申し上げて余りよく理解できませんでした。
質問の(1)と(2)は不適切な質問で、質問(3)は誤解に基づく質問であると。
確かに質問(3)において、質量と密度を取り違えているので誤解はあったわけですけど、それにしても質問の意図が伝わない方だなと思いました。

お礼日時：2014/12/28 23:30

No.5 回答者： foomufoomu 回答日時： 2014/12/29 01:18

たぶん間違いないと思うものだけ答えます。

質問１　ゼロになることもある。トンネル効果がそれではないかと。（そう考えないと、物質がワープすることになるので）

この回答へのお礼

有難うございました。

お礼日時：2015/01/12 19:34

No.6 回答者： Dio_Genes 回答日時： 2014/12/29 07:11

　#4ですが、ちょっとアレな感じがしてしまいます。

>今回の回答はよく理解できました。
>前回の回答は正直申し上げて余りよく理解できませんでした。

　それはそうでしょうね。あなたにも分かる喩えを考えてみると、「1+1はみかんなのかどうか」という問いにどう答えるか、ということなんですよ。「違うよ」と答えてしまうと、みかん以外の何かだと思ってしまう可能性が高い。それゆえ「聞いていること自体が間違っているよ」と教えるしかない。そういう話をしているわけです。

>質問の(1)と(2)は不適切な質問で、質問(3)は誤解に基づく質問であると。

　全て初歩的なことから間違っている、ということです。遠慮して答えていることくらい察して頂きたいものです。

>確かに質問(3)において、質量と密度を取り違えているので誤解はあったわけですけど、それにしても質問の意図が伝わない方だなと思いました。

　自然科学ですからね。書いた内容に従って、回答しますよ。書いていない意図などは扱わない。理系だと断った上での質問ですしね。

>長さという物理量がゼロをとることができるのか、それとも最低でもプランク長以上の値をとるのか、という検証はマクロの物理学ではなくて、ミクロの物理学なのではないのですか？
>マクロの物理学では極微の「長さ」に関して検証することなく、算術的に最小値＝０と仮説しているだけなじゃないのでしょうか？

　回答を読むくらいのことは最低限してもらいたいと言いましたよね（二度目）。#3から再掲しますよ。

#3>マクロな古典物理学で考えるときには、距離がゼロでもよい。ミクロに見たいなら、プランク距離という物理学的に可能な最小距離があることを前提に考えることが必要。その場合、距離ゼロなんてものは無い。

　マクロ、ミクロで区分けして、上記のように書いてある。にもかからわず、マクロとミクロでどうなんだと聞いて来るのはどういうことでしょうか？　プランク距離について書いてあるのに、プランク長はどうなんだと聞いて来る。どういうことですか？

>従って、二地点間の距離という物理量がゼロを取れるか否かは、マクロのアプローチは有意義でなは無く、つねにミクロのアプローチをとって、最低がプランク長なのか、それともゼロを取るのか考え、ゼロは取らないだろう＝体積もゼロにはならない＝有限の質量では密度は無限になならい。と考えるべきではないのでしょうか？

　そう書いてあるわけですよね、回答に。

#3>　密度だけとはいえ、体積0であることから発散が生じる。特異点における重力場が記述できず、特異点で何が起こるのか予測は不可能になる。要は数式の項一つでも無限大になれば計算不能であり、物理学的な記述は一切不可能になるということ。物理学的な記述ができないなら、物理学の法則が通用しないということになる。つまり、特異点は何でもありの点ということ。
#3>　このため、ホーキング博士は特異点を量子力学的に見ようとしている（時間の停止した、あらゆる可能性を持った量子だと予想している：量子のあぶく）。もちろん、未だに実現していない。量子重力理論が完成しないと、おそらく手の出しようがない。宇宙の誕生時の状態にも深く関わる、物理学上の大問題ではある。

　これ、どう読んだんです？　体積0では密度無限大になってまずい、だから量子として見ようとしているってことなんですが。量子と書いてある以上、量子力学の世界であることは分かりますよね。当然、体積を0とは考えない。

>物理学の専門家はミクロとマクロを上手く使い分けている様で、実際のところ、都合よく問題を回避してるってことは無いでしょうか？

　妄想に近いでしょうね。例えば、なんで「シュレディンガーの猫」が真面目に議論されていると思っていますか？　猫はマクロ、猫の生死を握るのはミクロ、しかし猫が重ね合わせになる、という話なことは分かりますよね（※ほとんど誰でも理解している）。都合よく使い分けてますか、そんな分かりやすい話なのに？

　もう一度申し上げておきます。「1+1はみかんなのか否か？」というYes/No質問には直接には答えられません。質問された条件内で答えられないわけではないが、答えると害を生じる可能性が高い。問いが間違っている、と答えるのが最善です。

この回答へのお礼

あなたの回答が最善な訳ですね。恐れ入りました。

どうもありがとう。

お礼日時：2014/12/29 15:30

No.7 回答者： Dio_Genes 回答日時： 2014/12/29 08:11

　追加して回答しておきます。

タイトルが問いだった、としてのことです。

>物理と数学の違いについて。

　物理学は、応用数学みたいなものです。数学を現実世界に適用してみるのが物理学、ということです。物理の基本言語は数学、と言ったりすることもあります。あるいは、物理学を行う人は数学のユーザーである、とも言える（※ただしニュートンが行ったように、数学に新たな分野を生み出すこともあるが、その場合は数学者的になっていると考えればよい）。

　物理学者のペンローズが次のようなことを言っています。

「宇宙は物理学で記述できるゆえに物理学に含まれる。物理学は数学の一部を使って記述するゆえに数学に含まれる。数学は人間が考えたものであるゆえに人間に含まれる。人間は宇宙に含まれる存在であることは言うまでもない。含む・含まれるの関係が堂々巡りになっているのはどうしたことだろうか？」

　物理学は数学に含まれている学問なんですよ（※多少、大雑把な言い方であることに留意すること）。確率とて数学ですしね。確率含めて数式化が現状の数学で無意味になるものは（不可能なものは原理的には無いが、単なる乱数になってしまう等の意味で「無意味」）、カオスなどと呼んだりもします。

P.S.

　ペンローズほどの人なら、敢えて上記のような問いを立てても問題はない。しかし、これは物理学に入門してしばらくすると起こりやすい、ある種の誤りでもある。ピグマリオン症候群と呼ぶこともある。あるいは、R世界（Real）とM世界（Model, Math.）の混同。

　物理学は数学を使って、あまりにもうまく現実世界の説明ができてしまうため、数学が現実世界に内包されていると思ってしまう誤謬ということです。「物理学なんか、現実の一部しか記述できないよ」ということは置いておきます。

　もっと大事なのは、「数学は人間の頭の中にしかない。それゆえ、数学がベースの物理学とて人間の頭の中にしかない。物理学は、人間が現実世界を納得したり、多少うまく立ち回るための道具でしかない。」ということ。

　プラネタリウムは宇宙ではない、みたいなことです。

この回答への補足

私の疑問の発端は、まさにR世界とM世界の混同が見られるのではないかという疑問です。

Yを密度。質量が１として、Xを体積とすれば、Y=1/Xです。
M世界がR世界を良く写像しているように思いますが、例外があります。
すなわち、M世界で、Xに0代入することはできても、R世界ではX＝０は無い、ということ。

Xが０を取れないというのはR世界の現実的制約（プランク長）。

言いかえると、数学上（M世界）に特異点があるからといって、そのような場所は宇宙（R世界）には無い。少なくとも「有ると言えない」のが正しいのではないか。

観測事実をもとに議論するのが物理学（R世界）だったはずなのですが、観測可能でなはない領域（たとえば事象の水平面の向こう側）まで議論したくなって、M世界の数式をそのまま適用できると短絡的になったり、、、。

M世界のY=１／Xでも、X－＞０の極限値としてY－＞∞となるだけであって、これを言葉で言いかえれば「Yが無限大の値を取る」のではなくて「Yは無限大にならない」ということを極限値として表現しているわけですから、ブラックホールの内側に「特異点がある」ということを安易に信じる物理学者など居ないというのが正しい認識なのかもしれませんね。

補足日時：2014/12/29 15:57

この回答へのお礼

再度の投稿ありがとうございます。

オリジナルの各質問に（正・誤）でお答えいただかなくとも、大変参考になります。

お礼日時：2014/12/29 15:41

No.8 回答者： Dio_Genes 回答日時： 2014/12/29 16:27

>あなたの回答が最善な訳ですね。

恐れ入りました。

　そんなわけないですよね。それは、質問者様がよく知っているはずです（だから、コメント入れているんだし）。

>私の疑問の発端は、まさにR世界とM世界の混同が見られるのではないかという疑問です。

　質問者様にはあるようにお見受けします。意図的かどうか、よく分かりませんが。

>Yを密度。質量が１として、Xを体積とすれば、Y=1/Xです。

　全てM世界の出来事です。

>M世界がR世界を良く写像しているように思いますが、例外があります。
>すなわち、M世界で、Xに0代入することはできても、R世界ではX＝０は無い、ということ。

　ないという話もしてありますよね。

>Xが０を取れないというのはR世界の現実的制約（プランク長）。

　その通り。

>言いかえると、数学上（M世界）に特異点があるからといって、そのような場所は宇宙（R世界）には無い。少なくとも「有ると言えない」のが正しいのではないか。

　あるとした場合にマクロの物理学はお手上げだという話も既にしてありますよね。

>観測事実をもとに議論するのが物理学（R世界）だったはずなのですが、観測可能でなはない領域（たとえば事象の水平面の向こう側）まで議論したくなって、M世界の数式をそのまま適用できると短絡的になったり、、、。

　何をどう観測すればいいかを、M世界で求めておくわけなんですけどね。M世界にあってR世界にないものはいろいろある。先進波などは古くから知られている。

>M世界のY=１／Xでも、X－＞０の極限値としてY－＞∞となるだけであって、これを言葉で言いかえれば「Yが無限大の値を取る」のではなくて「Yは無限大にならない」ということを極限値として表現しているわけですから、ブラックホールの内側に「特異点がある」ということを安易に信じる物理学者など居ないというのが正しい認識なのかもしれませんね。

　言葉で置き換えては駄目ですよ。数式の代りに言葉でいいんなら、物理学は数学を使いませんよ。無限大に関して言えば、例えばlimって記号、どう使うか知らないわけではないでしょう。何を考えておられるんですか？

　ちなみに、ブラックホールは一方通行の事象の地平面で覆われているのであれば、中がどうなっていても問題ありません。内部が時間反転していてすら問題ない。さらには、少なくとも恒星由来のブラックホールと呼ばれている天体は事象の地平面すらできておらず、従って内部に特異点も持っていない。仮に無限大の時間が経過しても問題ない。ブラックホールに自由落下する系の有限の時間で、外界では無限大の時間が経過するんですけどね。

　有名な話なんで、理系を自認されておられる質問者様に対して持ち出すのは気が引けますが、ブラックホールと呼ばれる天体は（事象の地平面がまだ無くても）、ホーキング輻射して有限の時間で消えてなくなりますからね。落ちて行っても事象の地平面が出てくる前にブラックホールは無くなってしまう。

　そのため、宇宙誕生時点で既にブラックホールがあれば、という話はあったりはします。生成メカニズムは未だに分かりませんが、事象の地平面があるブラックホール、あるいはホーキング輻射が観測可能なブラックホール（質量が小さいほど輻射が激しい）があるとすれば、宇宙誕生時に既にあれば、と期待するしかない。

　一方、裸の特異点は観測されている現象からは出て来そうなものはない。とはいえ、できないという保証もない（数学的に存在し得ないという証明はされていない）。相対論以前に数式解の存在が判明している電磁気の先進波も観測例がないだけで、存在しえないとは保証できていませんしね。数式解自体は確かにあるもんで。

　理系なんでしょう？　それくらい分かると思うんですが。

この回答へのお礼

理系と言っても、工学部ですから、ニュートン力学以外の物理学も微積分以外の数学もちゃんと勉強したことがありいません。

質問者を小馬鹿にした一行が無ければ大変ありがたい回答なのですが、、、。

お礼日時：2015/01/12 19:36

No.9 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2015/01/01 16:10

物理学は「自然を説明しようとする学問」であって、疑問の正誤を確かめるのはあなた自身です。

論理的に説明出るのであれば、物理学上は正誤を判断することができるが、絶対的なものではない。
私は観測不可能問題については「議論」となってしまうので、あまり言うつもりはありません。

この回答へのお礼

確かに観測不能問題を論ずる物理学ってのは危なっかしいですね。

どうもありがとうございました。

お礼日時：2015/01/12 19:37