(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3の途中式

数学の１の因数分解の公式ですがその答えに至るまでの途中式を考えたのですが導き出せません
(a+b)(a2-ab+b2)を展開すれば＝になりますがa3+b3を因数分解して(a+b)(a2-ab+b2)にどのように計算したらなるのでしょうか？　どうかよろしくお願いします

No.2 ベストアンサー 回答者： chie65535 回答日時： 2015/01/15 17:51

＞(a+b)(a2-ab+b2)を展開すれば＝になりますが

(a+b)(a2-ab+b2)
=a2(a+b)-ab(a+b)+b2(a+b)
=(a3+a2b)-(a2b+ab2)+(ab2+b3)
=a3+a2b-a2b-ab2+ab2+b3
=a3+(a2b-a2b)+(-ab2+ab2)+b3
=a3+0+0+b3
=a3+b3

はい、なりました。

＞a3+b3を因数分解して(a+b)(a2-ab+b2)にどのように計算したらなるのでしょうか？

a3、b3が居るので、とにかくa+bを３乗してみましょう。

(a+b)(a+b)(a+b)
=(a+b)(a2+2ab+b2)
=a2(a+b)+2ab(a+b)+b2(a+b)
=a3+a2b+2a2b+2ab2+ab2+b3
=a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)(a+b)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3　---(1)

(1)の両辺から「3a2b+3ab2」を引く。

(a+b)(a+b)(a+b)-(3a2b+3ab2)=a3+b3
(a+b)(a+b)(a+b)-3a2b-3ab2=a3+b3　---(2)

(a+b)(a+b)(a+b)-3a2b-3ab2
=(a+b)(a2+2ab+b2)-3ab(a+b)
=(a+b){(a2+2ab+b2)-3ab}
=(a+b)(a2+2ab+b2-3ab)
=(a+b)(a2-ab+b2)　---(3)

(2)(3)より

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

No.3 回答者： surftriptobali 回答日時： 2015/01/15 18:07

(a + b)(a2 - ab + b2) = a(a2 - ab + b2) + b(a2 - ab + b2)

= a3-a2b+ab2 + a2b -ab2 +b3
= a3 + b3


(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2)
= a^3-a^2b+ab^2 + a^2b -ab^2 +b^3
= a^3 + b^3

No.1 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2015/01/15 17:45

問題間違えてましたね。

・・(^^)

a³+b³を因数分解するのですから、これがゼロになる関係を一つだけ決めればよい。よって
a = -bのときゼロになるのは明白なので、a + b = 0
あとは、小学校の割り算の筆算と一緒です。
　　　　＿＿＿＿＿＿
(a + b)）a³ + b³

aをたてる。
　　　　＿＿＿a²＿＿＿
(a + b)）a³ + b³
　　　　　a³ + a³b
　　　　---------------
　　　　　　　b³ - a²b

　　　　＿＿＿a²＿＿b²＿
(a + b)）a³ + b³
　　　　　a³ + a³b
　　　　---------------
　　　　　　　b³ - a²b
　　　　　　　b³ 　　　+ ab²
　　　　----------------------
　　　　　　　　　-a²b - ab²


　　　　＿＿＿a²＿＿b²＿-ab
(a + b)）a³ + b³
　　　　　a³ + a³b
　　　　---------------
　　　　　　　b³ - a²b
　　　　　　　b³ 　　　+ ab²
　　　　----------------------
　　　　　　　　　-a²b - ab²
　　　　　　　　　-a²b - ab²
　　　　----------------------
　　　　　　　　　　　　　0
よって、
a³+b³ = (a+b)(a² + b² - ab)　　※aの次数順に並べ替えると
　　　　= (a+b)(a² - ab + b²)

　小学校の掛け算＝展開、割り算＝因数分解　を忘れたらダメだよ。

　256×12 とは、(2×10² + 5×10¹ + 6×10⁰)×(1×10¹ + 2×10⁰)、10²=a、10¹=b とすると、この式は、(2a + 5b + 6)(1a + 2)の展開と同じ
　256÷12 とは(2×10² + 5×10¹ + 6×10⁰)÷(1×10¹ + 2×10⁰)、10²=a、10¹=b とすると、この式は、(2a + 5b + 6)/(1a + 2)の因数分解と同じ
　小学校の筆算を復習しましょう。数学ってみな積み上げです。小学校で学んできたことを未知数に置き換えて見直すと良いです。