抵抗値不明の回路図での電圧変化の推定

図の回路で抵抗はR1-15まで15個あります。
左の回路図でXの部分の電圧は45.65Vとなります。次にR1の抵抗を0としたときにはXの電圧は62.70Vとなります。
各抵抗値が不明であり、測定できるのは各ポイントでの電圧のみとします。この場合、A図の何ポイントの電圧を測定すればXの電圧の変化を予測可能でしょうか。
1) R12、13は1つの直列回路とみなせる、2) R1に対する抵抗比を各抵抗で求めればよい、ということを考えると15-1-1=13が答えかと思うのですがいかがでしょうか。


また問題を一般化した回答を考えたいのですが、例えば抵抗がn個あるときはn-x個の連立方程式を解く必要があると思うのですが、xの条件を考えるということですが…

グラフ理論と関連があることはわかるのですがなかなか難しいのでご助言いただけましたら幸いです。

質問者からの補足コメント

• ご返答ありがとうございました。図では抵抗値が記載しておりますが、抵抗値がわからない場合という条件があった場合となります。その場合はいかがでしょうか。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/03/01 00:11

• ありがとうございました。
  一般化した場合の条件を考えているのですが添付の新しい図のように回路全体が不明な場合はいかがでしょうか。下記のような問題になるかと思います。
  
  "Ｘの電圧が45.65V、R1の抵抗値が不明、回路全体に抵抗値がn個ある。R1を解除したときのＸの変化を求めるために解かないといけない連立方程式の数を求めよ。"
  
  いろいろと考えていると抵抗の数をnとするのではなく節点をnとするほうが問題としては良いかもしれません。

  
  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/03/01 05:53

• ご返事ありがとうございました。
  問題としは抵抗値を確定する必要はなく、電圧の変化のみを予測するための条件で考えています。
  
  １つの抵抗に対する他の抵抗比がわかればよいのでn≧1は明らかですし、直列でつながっている抵抗などは1つに見なせる、並列でも両端や途中が分節していなければ1つに見なせる、など条件でnの値が決まるかと思います。
  
  それら条件を一般化して数学的に証明したいのですが、なかなか難しいと考えております。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/03/02 06:41

• ご返事ありがとうございました。
  
  "「（線形）回路のトポロジーと素子値が完全に定まれば，回路の任意の点の電圧と電流は求まる」
  しかし，
  「回路のトポロジーと全ての節点電圧が定まっても素子値は定まらない」"
  
  確かにその通りかと思います。
  素子の感度解析について書かれたwebや書籍など教えていただけないでしょうか。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/03/03 02:24

No.5 ベストアンサー 回答者： M光國 回答日時： 2015/03/05 18:06

>素子の感度解析について書かれたwebや書籍など教えていただけないでしょうか。

>Webで検索しましたが，一般的な解説は見当たりませんね．

私も調べて見ましたが，特定の回路についての論文や特許は引っかかりますが，
感度解析は回路に大きく依存しますので一般的な解説は見つかりませんね．
回路の教科書もいくつか持ってますが，素子の感度解析については
回路解析のほんの一部分に言及されている程度であまり参考になりません．

というのも，結局，素子の感度解析というのは，
着目点の素子値Rを変数として，ある点の電圧V(R)を回路方程式で求め，
∂V(R)/∂R　をもとめるのですが，これを数式でやるのは面倒です．

ほとんどの回路シミュレータには感度解析の機能がありますので，
回路設計の現場では，回路シミュレータを利用していると思います．
（フリーのLTspiceは残念ながら感度解析という機能はない．）

No.4 回答者： M光國 回答日時： 2015/03/03 00:42

質問の「抵抗値不明の回路図での電圧変化の推定」は一般には不能です．

添付図のブリッジ回路を考えて見てください．
この回路で，R4,R5の値はブリッジがバランスするように
図のような値になっているとしましょう．

この回路でR6を着目抵抗とすると，R6には電流が流れていませんので，
抵抗値をどんな値に変えても回路の節点電圧V1～V4には影響を与えません．

もちろん，その他の抵抗は抵抗値を変化すると各節点電圧に影響を与えます．

つまり，全く同一回路であっても，着目する抵抗によって，
節点電圧に影響を与えたり与えなかったりすると言うことです．

一般的には，回路のある素子値が変化したとき，
回路のある場所の電圧や電流にどれだけ変化を与えるか
という問題は，「素子の感度解析」と言いますが，
これは，一般的には，回路のトポロジー(接続状況)と素子値が完全に
決まらないと（＝回路方程式を解かないと）求まりません．

次のように言い換えることが出来ます．
「（線形）回路のトポロジーと素子値が完全に定まれば，回路の任意の点の電圧と電流は求まる」
しかし，
「回路のトポロジーと全ての節点電圧が定まっても素子値は定まらない」

ただし，見えている部分に関してもう少し条件を付け加えると
「重ね合わせの理」や「相反の定理」などで簡単に求まる場合もあるでしょう．

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2015/03/01 19:54

No.1&2です。

すみません、No.2の回答も的を外していますね。

　ＡからＢに変更（R1をゼロに）したときの、「Xの電圧を予測」するということですね。
　つまり、Ｂの「Xの電圧」は「未知」ということ。

　Ｂで、未知の「Xの電圧」を確定するには、R2、・・・、R12+R13、・・・R15の13個の抵抗値を確定する必要があります。（これはNo.2の回答の通り）

　ということは、Ａでこの13個の抵抗値を確定するとともに、「R1をゼロにしたとき」の影響を見るためには、R1の値も確定する必要があります。つまり、Ａでの未知数は「14」。
　このうち、Ｘ点の電圧が与えられるので、残る未知数は「14-1＝13」ということかと思います。
（質問者さんが書かれているとおりです）

　ちなみに、この「未知数」を求めるためには、「交点・分岐点の電圧」だけでは不足です。
　たとえば、14個の未知の抵抗が、電源電圧のもとに「14個並列」で接続されている場合には、交点・分岐点は「入口」「出口」の2点しかありません。この2点の電圧は既知ですが、14個の抵抗各々の抵抗値は求められません。14個の抵抗値または電流値が分かって、初めて個々の抵抗値が決まります。

　従って、上記の「未知数13」は、電圧が与えられる点数ではなく、それも含めた「独立した抵抗値、電流、または電圧（電位差）」ということです。
　（電位差）＝（電流値）×（抵抗値）
のいずれか一つの要素が13個ということです。

　また、「問題を一般化した回答を考えたいのですが、例えば抵抗がn個あるときはn-x個の連立方程式を解く必要があると思うのですが、xの条件を考えるということ」については、未知数がｎであれば、ｎ個の連立方程式が必要であり、ｘ＝０かと思います。
　一次連立方程式は、「変数の数と方程式の本数が一致するならば、解が存在し、一つに定まる」ということです。↓参照。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B% …


　回答が二転三転してお見苦しくなり、申し訳ありません。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2015/03/01 01:58

No.1です。

失礼しました、問題文を読み違えていましたね。

　「各抵抗値が不明であり、測定できるのは各ポイントでの電圧のみとします」というのが条件ですね？　要するに、R1～R15は値が不明という条件ですね。

　この場合、おっしゃるように「R12、13は1つの直列回路とみなせる」ので、未知数は14個です。

　各抵抗に電流が分流し、それぞれで電圧降下が発生します。それを解いて14個の抵抗値を求めるには、14個の独立な方程式が必要です。
　ご質問の場合、そのうち「１つ」の値が与えられているので、残りは13個です。

　さらに、1個の抵抗をゼロにしたときの条件が与えられれば、未知の条件はさらに1個減って12個になります。

　つまり、未知数14→X点の値が既に与えられている（-1）→1個の抵抗をゼロにしたときのX点の値が与えられる（-1）で、14-1-1=12　ということかと思います。

　検算として、少し泥臭く考えれば、Aで「X点+12点」（計13点）を測定して「未知数1つ」にまで追い込んでおけば、全ての抵抗値を１つの未知の抵抗値を使って表わせるはずです。（R1～R12+R13～R15のどれでもよい。例えば全ての抵抗を「R2」を使って表わしたとします）
　Ｂでは「未知数13」に減るわけですから、Ａで追い込んだ条件（全ての抵抗値をR2を使って表わした抵抗値に対して立てた方程式13個）を使い、X点の値が与えられるので、このR2の値が確定するはずです。

　つまり、Ａで、X点以外に「12点」の電圧が分かればよいということかと思います。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2015/02/28 23:51

図が小さいのですが、15個の抵抗はすべて抵抗値が決まっているのですね？　何も、不確定要素はないのですよね？

　だとすれば、今のままでＸ点の電圧は一義的に確定します。他の点の電圧も一義的に決まりますので、ＡもＢも、X点での電圧を求めるのに他の点の電圧を測定する必要はありません。