確率の問題

ビー玉を転がした先に１５本のレーンがあります。ビー玉がレーンを通るとそこにランプがつきます。ビー玉を１５個転がした後にランプが８個ついている確率はどう計算したら良いのでしょうか？

No.14 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2004/06/19 17:20

既に正解が出ている気がしますけど、ま、いろいろな説明を見てみるのもよいのではないかとおもいます。

「k個のレーンにm個のビー玉を転がす」ということの場合の数をW(k)とします。
W(k)=(k^m)
は自明ですね。(k^m)とはkのm乗です。

「k個のレーンにm個のビー玉を転がしたとき、どのレーンにも少なくとも1個のビー玉が通る」ということの場合の数をY(k)とします。
Y(1)=1
はすぐ分かります。ではk=2,3,....について、Y(k)はいくらか。
「k個のレーンにm個のビー玉を転がす」やりかたW(k)通りのうちには、
「レーン番号1～kにm個のビー玉を転がしたとき、レーン2番にはビー玉が通らず、他のどのレーンにも少なくとも1個のビー玉が通る」場合の数 ：Y(k-1)通り
だとか
「レーン番号1～kにm個のビー玉を転がしたとき、レーン2番と8番にはビー玉が通らず、他のレーンにも少なくとも1個のビー玉が通る」場合の数 ：Y(k-2)通り
などが含まれているので、これらを除外しなくてはなりません。

「k個のレーンにm個のビー玉を転がしたとき、ビー玉が一つも通らなかったレーンが丁度j個ある」場合の数をX(k,j)とします。
すると、どのレーンにビー玉が通らなかったか、の選び方が(kCj)通りあるのだから
X(k,j)=(kCj)Y(k-j)
です。ここにkCjとは「k個の中からj個を選ぶ組み合わせの数」kCj=(k!)/(j!)/((k-j)!)です。
だから
Y(k)=W(k)-X(k,1)-X(k,2)- … -X(k,k-1)
となります。

さて、ご質問の問題は
「n個のレーンにm個のビー玉を転がしたとき、少なくとも１個のビー玉が通ったレーンが丁度k個である確率」P (ただしn=m=15,k=8)
です。これを言い換えれば
「n個のレーンにm個のビー玉を転がしたとき、ビー玉が一つも通らなかったレーンが丁度(n-k)個ある確率」です。
「n個のレーンにm個のビー玉を転がす」場合の数はW(n)=(n^m)通り、
「k個のレーンにm個のビー玉を転がしたとき、ビー玉が一つも通らなかったレーンが丁度(n-k)個ある」場合の数は（前述したように）X(n,n-k)通りなので、答は
P=X(n,n-k)/W(n)
です。

n=m=15,k=8において具体的に計算してみると
P≒0.128
ほどになります。

この回答へのお礼

回答をいただき、訂正・補足までお寄せいただきありがとうございます。噛み砕いて説明していただいたお陰でよく理解できました。

お礼日時：2004/06/24 18:44

No.19 回答者： hyeon 回答日時： 2004/06/23 11:16

三度修正です。

7個のビー玉が8つのレーンを通るときの確率を求めるときの分子がもっと大きくなります。
（1,2,3,4,5,6,7,8)から重複を許して7つの数字を選んだ時の積の総和が分子になるようです。つまり、（1,1,2,3,4,4,8)＝768や（2,2,3,3,5,8,8)＝11520など全ての場合を計算して、足せば多分No.17にある数字がでるのではないかと思います。

No.18 回答者： stomachman 回答日時： 2004/06/21 21:31

回答No.14の補足です。

この数字の算出を式で表わそうとすると大変かどうか。いや、それほど大変でもないです。

No.14の記号を使って、
W(k)=k^m
とすると、
Y(k)=Σ(((-1)^(k-j))f(j,k-j)W(j))　　(Σはj=1～kについての総和）
と書けます。ここに
f(0,k)=1 (k=0,1,2,…)
f(1,k)=Σf(0,j) (Σはj=0～kについての総和。k=0,1,2…)
一般にI=1,2,….について
f(i,k)=Σf(i-1,j) (Σはj=0～kについての総和。k=0,1,2…)
です。具体的には
f(0,k)=1,1,1,1,1…
f(1,k)=1,2,3,4,5,…
f(2,k)=1,3,6,10,15,…
f(3,k)=1,4,10,20,35,…
という調子で、従って
Y(7)=7W(1)-21W(2)+35W(3)-35W(4)+21W(5)-7W(6)+W(7)

No.17 回答者： zuyun 回答日時： 2004/06/21 18:44

#13です。

同じ考え方ですが、「ベクトル」「行列」を使わないで再び説明してみます。(なお、計算はexcelで数値的に求めることにし、「漸化式」の考えはexcelのオートフィル機能で実現します。)

excelの1行～15行を「1投後」～「15投後」、A列～H列を「1個ランプが点いている確率」～「15個ランプが点いている確率」として表を作成することにします。(例えばセルC4は「4個転がした後に3個ランプが点いている確率」。)

＜1行目の作成＞
1投後のランプ数は必ず1個ですから、セルA1に1を入力し、残りB1～H1に0を入力します。

＜2行目の作成＞
・セルA2に "=A1*1/15" を入力します。これは、「投げる前に1個点いているとき、その1/15の確率で投げた後にも1個点いている」という意味です。
・セルB2に "= A1*14/15 + B1*2/15" を入力します。これは、投げた後に2個点くのは、「投げる前に1個→投げた後に2個」か「投げる前に2個→投げた後も2個」のどちらかに限られますが、前者の確率が14/15、後者の確率が2/15だということです。
・セルC2に "= B1*13/15 + C1*3/15" を入力します。これは、投げた後に3個点くのは、「投げる前に2個→投げた後に3個」か「投げる前に3個→投げた後も3個」のどちらかに限られますが、前者の確率が13/15、後者の確率が3/15だということです。
・以下同様にして、
　D2に "= C1*12/15 + D1*4/15"
　E2に "= D1*11/15 + E1*5/15"
　F2に "= E1*10/15 + F1*6/15"
　G2に "= F1* 9/15 + G1*7/15"
　H2に "= G1* 8/15 + H1*8/15"

※この時点で、A2に0.066…、B2に0.933…が表示され、C2以降すべて0ですね。(2投後に3個以上ランプ点くことはありませんから。)

＜3～15行目の作成＞
2行目を手本に、オートフィルを用いて15行まで作ります。(A2～H2セルを選択し、右下の十字カーソルを15行までドラッグする。)　

これで一覧表が完成しました。お望みの答えはセルH15に "0.128…" と出ていますし、他の確率も分かります。(8個つく確率が一番高いのは11回投げた後だ、とかも分かります。)

補足：
別のソフトで厳密に(＝分数のままで)計算させたところ、答えは
3747072404275200 ÷ 15^14
　　　＝3747072404275200 / 29192926025390600
　　　＝1703214729216 / 13269511829723　(2200で約分)
となりました。
しかし、この数字の算出を式で表わそうとすると大変です。(分子「3747072404275200」という数字は、3千個以上(14Ｃ7)もの項の和になっているように思います。)　したがって、#11さんのようにシミュレートするか、#14さんや私のように数値計算するのが現実的でしょう。(簡単な式で表すことはできないのでは…。)

この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございます。考え方がわかりました。エクセル使って試してみます。２年前からつらつら考えていたんですが、簡単な式では表せないと聞いてちょっとうれしい。

お礼日時：2004/06/24 18:34

No.16 回答者： eatern27 回答日時： 2004/06/19 17:54

私も#12さんのような解き方を考えました。

が、この方法だと、次のようなおかしな事になります。

実際に確率を求めると、64%くらいになる。(どう考えても高すぎる)

(ランプのつく数が12個以下の確率)＝(15Ｃ12)(13/15)^15
と考えられるのが、これを計算すると、1を超える。(約16になります)

ランプのつく数が15個である確率が、-4.3になる。


なので、この方法は間違いです。

この方法が間違いである理由は、
ランプのつく数が8個以下である確率を
15Ｃ8×8^15×(1/15)^15
と考えたことによります。(7個以下の方も同じ)


上手く説明できませんが、
例えば"特定のランプのみがつく場合"というのを、複数回数えている事に由来していると思います。(自信はないですが)

じゃぁ、ランプのつく数が8個以下である確率はどう求めるのか？
という突っ込みはしないでください。分からないので…。

No.15 回答者： stomachman 回答日時： 2004/06/19 17:41

●No.14の間違い訂正

×「レーン番号1～kにm個のビー玉を転がしたとき、レーン2番と8番にはビー玉が通らず、他のレーンにも少なくとも1個のビー玉が通る」場合の数 ：Y(k-2)通り

○「レーン番号1～kにm個のビー玉を転がしたとき、レーン2番と8番にはビー玉が通らず、他のどのレーンにも少なくとも1個のビー玉が通る」場合の数 ：Y(k-2)通り


×「k個のレーンにm個のビー玉を転がしたとき、ビー玉が一つも通らなかったレーンが丁度(n-k)個ある」場合の数は（前述したように）X(n,n-k)通りなので、答は
P=X(n,n-k)/W(n)

○「n個のレーンにm個のビー玉を転がしたとき、ビー玉が一つも通らなかったレーンが丁度(n-k)個ある」場合の数は（前述したように）X(n,n-k)通りなので、答は
P=X(n,n-k)/W(n)

ごめんね。

No.13 回答者： zuyun 回答日時： 2004/06/18 22:33

ｎ個転がした後で点いているランプが１個の確率をａ(n)、２個の確率をｂ(n)、…、８個の確率をｈ(n)とします。

すると、例えば
ｃ(3)＝ｂ(2)× 13/15 ＋ ｃ(2)× 3/15
などの関係があるので、これを一般化します。ベクトル

ｋ(n)＝
　　　　　｜ａ(n)｜
　　　　　｜ｂ(n)｜
　　　　　｜・　　｜
　　　　　｜・　　｜
　　　　　｜ｈ(n)｜

を考えれば、漸化式

ｋ(n+1)＝
　　　　　　　　｜ 1/15 0 0 0 0 0 0 0 ｜
　　　　　　　　｜14/15 2/15 0 0 0 0 0 0 ｜
　　　　　　　　｜ 0 13/15 3/15 0 0 0 0 0 ｜
　　　　　　　　｜ 0 0 12/15 4/15 0 0 0 0 ｜　×ｋ(n)
　　　　　　　　｜ 0 0 0 11/15 5/15 0 0 0 ｜
　　　　　　　　｜ 0 0 0 0 10/15 6/15 0 0 ｜
　　　　　　　　｜ 0 0 0 0 0 9/15 7/15 0 ｜
　　　　　　　　｜ 0 0 0 0 0 0 8/15 8/15｜

ができます。この８×８行列をＭとすれば、
ｋ(15)＝Ｍ^14 × ｋ(1)
であり、初期値

ｋ(1)＝
　　　　　｜１｜
　　　　　｜０｜
　　　　　｜・｜
　　　　　｜・｜
　　　　　｜０｜

ですから、問題の答えとなるｈ(15)は、行列Ｍ^14 のうち、一番左下の成分(8行目1列目)に相当することになります。Ｍ^14を厳密に求めることができなかったので数値計算したところ、左下の成分は
　0.12835549…
でした。(＃11さんのモンテカルロ法(?)による「13%弱」とよく一致しています。)

この回答へのお礼

ごめんなさい、記号も読めず考え方を追うことができませんでした。
実際のゲームでは25%近いところですがレーンの差があるから当然ですね。
アドバイスいただきありがとうございます。

お礼日時：2004/06/19 00:04

No.12 回答者： BBblue 回答日時： 2004/06/18 14:58

とりあえず。

通過する８レーンの選び方は15Ｃ8。
この８レーンを通過する順番は、8^15 あるわけだから、
15Ｃ8×8^15×(1/15)^15がランプが８個
以下つく確率になりますよね？
～～
ということでこれから
15Ｃ7×7^15×(1/15)^15 ＝ ７個以下つく確率　を
引いてやればよいのでは？

思いつきはしたけど、まったく自信がないなぁ・・・
いちおう、回答とさせていただきます。

この回答へのお礼

回答をお寄せいただきありがとうございます。8以下つくから7以下つくを引くのですね。思いつきませんでした。

お礼日時：2004/06/19 00:01

No.11 回答者： neKo_deux 回答日時： 2004/06/17 12:14

Excelで乱数などを使ってざくっと実験してみると、13％弱でした。

--
計算の考え方はなんか上手くいきません。
レーン15本とビー玉15個で数が同じだから紛らわしいのかも。

この回答へのお礼

わざわざ実験していただきありがとうございます。そう言えばいきなり大きい数を考えたのが悪いかも。レーン３ビー玉２ランプ１から考え直してみます。

お礼日時：2004/06/18 23:51

No.10 回答者： hyeon 回答日時： 2004/06/17 09:28

計算しなおして見ましたが、間違ってたようです。

ある8個がある8レーンを通過する確率
（15×14×...×8）／15＾8
残り7個がその8レーンを通過する確率
｛8（8＋7+...+1）×7（7+...+1）×...×1」｝／15＾7
2つの積が求める確率になりそうです。
最初の1つはどのレーンを通過してもよく、2個目以降は新しいレーンか既に通過したレーンを通過し、なおかつ、8レーンを通過しなければいけないので、既に通過したレーンを通れるのは7個までという条件で場合分けしました。

この回答へのお礼

ご回答をお寄せいただきありがとうございます。8個がランプを付ける組み合わせと7個がランプを付けない組み合わせがいろんな順番で出現する総数が全体の中でどれくらいの比率になるかという理解で良いでしょうか。まだ飲み込めてないのでしばらく考えてみます。

お礼日時：2004/06/18 23:49