統計の変動係数について

あるｎ個のデータがあります。その標準偏差s(a)と、変動係数CV(a)を求めます。
次に、ｎ個のデータすべてに１０を足し、足された後のデータの標準偏差s(b)と、
変動係数CV(b)を求めたとします。

この場合、標準偏差の値は、s(a)=s(b)となりますよね。
でも、変動係数はCV(a)>CV(b)となると思います。

「変動係数は平均値などが異なっている場合に、ばらつきを比べられるようにしたもの」
という参考書の説明でした。
でも、上の条件でのばらつきは”感覚的に”同じだと思えてしまうのですが、係数としては差が出ます。

どのように考えれば良いのでしょうか。

質問者からの補足コメント

• 

  （データが長さで、単位がｃｍだとします）
  たとえば、このデータをヒストグラムに書いてみると、形は全く同じ形で
  １０ｃｍ分右にずれただけという物が描けると思います。
  
  その二つのヒストグラムを見比べて、ばらつきが違うというのは
  いまいち納得感が無いということなのです。
  
  数値を相対的に見るのではなく、絶対的に見なければいけないということでしょうか。

    補足日時：2015/08/06 18:08

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2015/08/06 18:46

「標準偏差」は絶対的なもので、グラフを平行移動しても変わりません。

グラフの形は変わりません。
　従って、「10cm分右にずれただけという物」の「標準偏差」としてのばらつきは変わりません。平均値が右にずれた分、相対値としての「変動係数」は変わります。No.2の例に示したように。

　「変動係数」は相対的なもので、これを比較のために動かすのは、グラフの移動ではなく、左右方向の縮尺を変えることに相当します。平均値の位置を右に10cmずらすと、全体が右方向に延びます。平均値の位置を左方向にずらせば、全体が左方向に縮まります。そんなイメージでしょう。

　いずれにせよ、「標準偏差」と「変動係数」は別なものです。一方は一定でも他方が変わり、同じように変化するということはありません。
　No.2の例のように、「標準偏差」が一定でも平均値によって相対誤差は変化しますし、相対誤差（%で表わした精度）が一定なら、平均値によって「標準偏差」の絶対値は変化します。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2015/08/07 00:09

何のために、データのばらつきを測って比較するのか。

その目的に鑑みて、標準偏差で比べるのが適切な場合もあれば、変動係数で比べるのが適切な場合もある。ただそれだけのことです。

　「変動係数」というものがオカシイわけではないし、質問者氏の考えがオカシイわけでもない。単に、

>「変動係数は平均値などが異なっている場合に、ばらつきを比べられるようにしたもの」という参考書の説明

があまりにも舌足らずであって、すなわち、お使いなのは駄目な参考書だ、ということ。（もしかすると、読者を舐めたような「ネコでも分かる統計入門」的な本じゃないですかね。）その本の記述が腑に落ちないのは当然です。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2015/08/06 17:38

「変動係数」は、標準偏差を平均値で割って、無次元数にしたものです。

　具体的な例でいえば、精度 ±1mm のモノサシで長さを測ったときに、100ｍmの長さを測ると100±1ｍm（平均値が100mmで、標準偏差が±1ｍm）、1000ｍmの長さを測ると1000±1mm（平均値が1000mmで、標準偏差が±1ｍm）といった測定結果が得られます。どちらも標準偏差は ±1mm ですが、各々の測定値に対する相対精度は、

　　100ｍmの長さに対しては、±1mm/100mm = ±1%
　　1000ｍmの長さに対しては、±1mm/1000mm = ±0.1%

となって、測定値によって異なります。これが「変動係数」です。

　このモノサシに対して、「光を利用して、2点間の距離を±0.1%で計測」する装置があったとすると、100ｍmの長さでは±0.1mmのばらつきで高精度ですが、1000ｍmの長さに対してはモノサシと同等、10000mmでは±10mmのばらつきでモノサシよりも精度が落ちます。こういったことを比較するのには、「変動係数」の方が便利です。

　質問者さんのおっしゃる「ｎ個のデータすべてに１０を足し」というのは、この前者の場合に、「ある基準点から測定して100ｍmの長さだが、原点から基準点まで50mmあるので、原点からの長さに換算すると 150±1mm（平均値が150mmで、標準偏差が±1ｍm）になる」というようなケースでしょうか。
　この場合には、原点から基準点までの「50mm」に誤差はないと考えて、標準偏差が±1ｍmは変わりませんが、測定したい長さが「原点からの長さ」になるので、その相対精度は

　　　±1mm/150mm = ±0.67%

に変わります。
　　
　平均値（測定したい真値）がいくらであろうとも、その周りのばらつきが ±1mm であるとするのが標準偏差、平均値（測定したい真値）に対する比率（相対精度）で表わすのが変動係数です。標準偏差は、その統計量と同じ単位ですが（上の例の場合には mm ）、変動係数は無次元です（上の例の場合には %で表示）。

　質問者さんの言う「参考書にある、変動係数は平均値などが異なっている場合に、ばらつきを比べられるようにしたもの」というのは、異なった分布や単位の異なる分布を、上記の「%で表わした相対精度」のように、同じ条件で比べられるようにするという意味だと思います。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2015/08/06 16:38

変動係数 = 標準偏差 / 平均値

まずはたとえ話：
　1000円のものを買って500円おまけしてもらったら、そりゃ嬉しいでしょ。
　1000万円のものを買って500円おまけしてもらうのと、どっちが嬉しい？

　どっちも1000円トクしたんだから同じです。買い物の機会が1回だけなら、確かにその通り。
　しかし1000万円持ってれば、1000円のものを1万回買える訳です。その１万回で、もし毎回500円おまけしてもらえたら、これは「同じ」じゃないでしょ。

　株の価格の場合であれば、1000万円で買った株を売って500円得したり損したりする話と、1000円で買った株を500円得したり損したりする話をどう比べるか。投資額は回収したうえでのプラス500円かマイナス500円かなんだからどっちも同じ、ってことで良いですかね。いや、資金が1000万円あれば、あと999万9千円を別の投資にも回せるし、あるいはその1000円の株を1万株買うこともできた訳です。

　だから比率で比べるのが適切だ、というのが変動係数。