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問題:(2x + a) / 4 <= (x - 2) / 3を満たす自然数xの個数が3個となるように、
   定数aの値の範囲を 定めよ。

 上記問題において、不等式の両辺に12を掛けて 3(2x + a) <= 4(x - 2)から
 x <= -(3a + 8 / 2)と展開できることはわかりますが、

 この不等式を満たす自然数が3個である条件において、
 3 <= -(3a + 8 / 2) < 4
 と範囲判別がなぜ出来るのかがわかりません。

申し訳ありませんが、詳しくご説明頂ける方、御回答の程よろしくお願い致します。

A 回答 (4件)

x <= -(3a + 8 / 2) で


「自然数 x の個数が3個」となるには
x =1,2,3  となることが分かります。
なぜなら、
x <= -(3a + 8 / 2) より
「x は小さいほうから3つとる」ことになるからです。
そして
x <= -(3a + 8 / 2) が x =1,2,3の範囲を表すには
壱.-(3a + 8 / 2) = 3 のとき成り立ち
弐.-(3a + 8 / 2) = 4 のとき x = 1,2,3,4となり4個となるので成り立たないことから、
この不等式を満たす自然数が3個である条件において、
 3 <= -(3a + 8 / 2) < 4
 と範囲判別ができます。

どうしても文章では分かり難くなってしまいますが、
自分で x の数直線を描いてみて
0,1,2,3、4などと書き込んでみると、
イメージが持ちやすくなるかと思います。
周りに教えてくれる人がいれば直接聞いたほうがより実感できると思います。
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この回答へのお礼

御回答ありがとうございます。
つまり、自然数x = 1,2,3となるのは、
x <= -(3a + 8 / 2)から、※ -(3a + 8 / 2) = Aとおく
1,2,3 <= A < 4 ⇒ 3 <= A < 4という判断をすること
ということでよろしいでしょうか?
申し訳ありません。いまひとつ教えて頂けるとより理解できると思います。宜しくお願い致します。

お礼日時:2015/08/19 17:33

No.2のお礼を見ました。


「x <= -(3a + 8 / 2)から、※ -(3a + 8 / 2) = Aとおく 1,2,3 <= A < 4 ⇒ 3 <= A < 4という判断をする」
この考え方で合っていますよ。
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この回答へのお礼

御回答ありがとうございます。考えたの整理ができました。

お礼日時:2015/08/23 06:52

解答にそこの説明が書かれて無いなら、その解答は、ダメです。

どんな立派な先生が書いていてもダメ。
どれもこれもそんな解答解説ばかりなら、その教材の放棄を考えても良いでしょう。
ただし、x-yグラフならぬa-xグラフをちゃんと描くなど、あなたもそれなりのことをしなければなりません。
右辺が4以上の場合、その不等式を満たすxは、1,2,3,4,....と、4つより多くなり題意を満たさない。
また、右辺が3未満の場合、その不等式を満たすxは、最大で1,2の二つとなり、これも題意を満たさない。
従って、
なんて説明が必要なはずです。
無けりゃ減点だと思いますがね。誰が見ても、なんで???って「文章」になっちゃいますから。
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問題の意味を考えれば分かると思います。



 「xは自然数」で、「x <= -(3a + 8 / 2)」ということは、「x=1,2,3 かつ x≠ 4,5,6・・・ となる a の範囲を求める」ということです。
 これが「3 <= -(3a + 8 / 2) < 4」の意味かと思います。
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もしも A=4.1 など、Aよりちょっとだけ大きい数であれば、
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x<A を満たす整数xは、x=4,3,2,1・・・になるので、OK。

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お願いします、1時間以上考えてたんですがもう頭がパンクしそうです。

Aベストアンサー

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Q数I 連立不等式の整数解の条件

以下の問題の解答例の最後の部分で何故こうなるのか、わからない部分があります。


【問題】

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【解答例】
 (1)を解くと x≧-2

 (2)を解くと x<a+2

 (1)、(2)の共通範囲は -2≦x<a+2

 これを満たす整数xがちょうど3個あるとき、その値は x=-2、-1、0 であるから、

 a+2 が満たす条件は 0<a+2≦1・・・・★

 各辺から2を引いて -2<a≦-1

 
 ★マークの部分、不等号に=が付く位置についてがよくわかりません。
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 また、1を含んでしまうと正数解は4個になるのでは?とも思いました。

 なぜ、私の考え方が間違いで、正解が解答例のようになるのかご教示ください。

Aベストアンサー

-2≦x<a+2
テスト等の時には、いくつか具体的に数字を入れて想像してみるのが良いでしょう。

-2≦x< -0.1 ・・・解-2、-1
-2≦x<0     ・・・解-2、-1
-2≦x<0.1   ・・・解-2、-1、0
つまり、0より少しだけ大きい数でないと、整数解に0が入ってこない。
0はダメ。
→ 0≦ ではなく 0< (等号含まない)。

-2≦x<0.9 ・・・解-2、-1、0
-2≦x<1    ・・・解-2、-1、0
-2≦x<1.1 ・・・解-2、-1、0、1
つまり、1より少しだけ大きい数になると、整数解に1が入ってきてしまう。
<1 にした時はまだ、解に1を含まないのでぎりぎりセーフ(ここが確かにわかりにくいところですね)。
→ ≦○ ではなく <○ ・・・と考えない。上と違って、こう考え始めるとわけがわからなくなる。
正しくは、注目すべきは、
0.9だと解に1が入らなくて、1でも解に1が入ら「ない」、ということ。
つまり<○の○は、1を含む、ということ。

だから
0<a+2≦1
になるのです。


少し視点を変えましょう。
0≦a+2<1 と考えたのでしょう。
正解と異なるのは (1)左の数字 0を含む (2)右の数字 1を含まないですね。
ではまず、
a+2=0 となる場合を考えましょう。
(1)、(2)の共通範囲は -2≦x<0 となります。
ほら、x=0とはならなず、解は2つだけですね。

次にa+2=1未満 となる場合を考えましょう。こちらの方が考えにくいです。
(1)、(2)の共通範囲は -2≦x<1より微妙に小さい値 となります。
これは正しいです。x=-2、-1、0となります。
でも、未満じゃなくてa+2=1 だったらどうでしょう。
(1)、(2)の共通範囲は -2≦x<1 となります。
こうやって具体的に書くと、x=-2、-1、0という条件を満たすことがわかりませんか。
a+2 に1を含んでも、xは「その数未満(<)」なので、正数解は4個にはなりません。

そして、上の方に書いた考え方に戻って、
「では、1より微妙に大きい値、1.1では?」
という検証に続くのです。


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-2≦x<a+2
テスト等の時には、いくつか具体的に数字を入れて想像してみるのが良いでしょう。

-2≦x< -0.1 ・・・解-2、-1
-2≦x<0     ・・・解-2、-1
-2≦x<0.1   ・・・解-2、-1、0
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0はダメ。
→ 0≦ ではなく 0< (等号含まない)。

-2≦x<0.9 ・・・解-2、-1、0
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-2≦x<1.1 ・・・解-2、-1、0、1
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ド … ●   ●●● ○○○ ○
レ … ●   ●●○ ○○○ ○
ミ … ●   ●○○ ○○○ ○
フア … ●   ○●○ ○○○ ○
ソ … ○   ○●○ ○○○ ○
ラ … ◎   ●●● ●●○ ○
シ … ◎   ●●● ○●○ ○
ド … ◎   ●●● ○○○ ○

レ … ◎   ●●○ ○○○ ○
ミ … ◎   ●●○ ●●○ ○
フア … ◎   ●○○ ●●○ ○


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シ … ●   ●●● ○●● ○

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