数学 極限問、lim(√x∧2+x+1ー√x∧2+1) (x→ー∞)において、(x=ｰt)

数学 極限

問、lim(√x∧2+x+1ー√x∧2+1) (x→ー∞)

において、
(x=ｰt)とおくと (x→∞)のとき(t→∞)
と書かれているのですが、
なぜ (t→∞)となるのですか？

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2015/09/17 17:30

＞(x=ｰt)とおくと (x→∞)のとき(t→∞)

x=ｰt とおくと「x→-∞ のとき t→∞ 」ではありませんか？

x=ｰt とおくと t=ｰx ですから、x→-∞ のとき t→∞ です。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2015/09/17 18:13

No.1です。

問題そのものは x = -t とおくことは必須ではないように思いますが。

元の式の分子・分母に「√( x^2 + x + 1 ) + √( x^2 + 1 )」をかけて、

√( x^2 + x + 1 ) - √( x^2 + 1 )
= [ ( x^2 + x + 1 ) - ( x^2 + 1 ) ] / [ √( x^2 + x + 1 ) + √( x^2 + 1 ) ]
= x / [ √( x^2 + x + 1 ) + √( x^2 + 1 ) ]
= 1 / [ √[ 1 + (1/x) + (1/x^2) ] + √[ 1 + (1/x^2) ]

x = -t とおいて
1 / [ √[ 1 + (1/x) + (1/x^2) ] + √[ 1 + (1/x^2) ]
= 1 / [ √[ 1 - (1/t) + (1/t^2) ] + √[ 1 + (1/t^2) ]

x → -∞ のとき t → ∞ であり、このとき (1/t) → 0, (1/t^2) → 0 なので、
1 / [ √[ 1 - (1/t) + (1/t^2) ] + √[ 1 + (1/t^2) ] → 1/2

よって、

lim[ √( x^2 + x + 1 ) - √( x^2 + 1 ) ] (x → -∞) = 1/2

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/09/18 17:05

もちろん x=-t とおくことがこの問題を解くにあたって「必須」というわけではありませんが, まさにそのように間違えるのを (少し

でも) 防ぐために x=-t とおいているんではないかと＞#2.

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2015/09/18 22:51

No.2です。

＞#3さん
＞まさにそのように間違えるのを

　確かにそうでしたね！

lim[ √( x^2 + x + 1 ) - √( x^2 + 1 ) ] (x → -∞) = -1/2

に訂正します。

　見事に引っかかりました。