絶対値の場合分け

問題:x=a^2+9とし、y=√x-6a - √x+6aとする。
場合分けすると
a≦-3のとき、y=6
-3 ≦a≦3 のとき、y=-2a、
a≧3のとき、y=-6
になるらしいのですが、なぜこのように場合分けするのですか？

^2は2乗のことです

No.1 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/09/19 22:12

使う式が変わるところで、　『　必ず　』　場合分けをします。

√(A)^2　は、
A≧0　のとき　√(A)^2=A　・・・・・ ①
A<0　のとき　√(A)^2=－A　・・・・・ ②
となります。

x=a^2+9とすると、
y=√(x－6a) － √(x+6a)
=√(a^2－6a+9) － √(a^2+6a+9)
=√(a－3)^2－√(a+3)^2

ここで、
√(a－3)^2　は、
（ア）　a－3≧0　つまり　a≧3　のとき　√(a－3)^2=a－3　・・・・・（① です）
（イ）　a－3<0　つまり　a<3　のとき　√(a－3)^2=－(a－3)　・・・・・（② です）

√(a+3)^2　は、
（ウ）　a+3≧0　つまり　a≧－3　のとき　√(a+3)^2=a+3　・・・・・（① です）
（エ）　a+3<0　つまり　a<－3　のとき　√(a+3)^2=－(a+3)　・・・・・（② です）

a-3　は　《　3　》　を境に　正負の符号　が変わり、
a+3　は　《　－3　》　を境に　正負の符号　が変わります。

２つの式を同時に考えているので、
質問のように、
a≦-3　-3≦a≦3　3≦a
の　３つに　場合分けをして考えます。

例えば、紙に　ｘ軸　を引いて下さい。
次に、　３　を　ｘ軸　に図示して下さい。
さらに、　－３　を　ｘ軸　に図示して下さい。

すると、　ｘ軸　は、　３か所　に分けられていると思います。
それが、上の場合分けです。

a≦－3　　 の部分は、　（イ）　と　（エ）　を使い、
－3≦a≦3　の部分は、　（イ）　と　（ウ）　を使い、　　（⇦　－3　で、　√(a+3)^2　の使う式が　（エ）　から　（ウ）　に変わった）
3≦a　　　 の部分は、　（ア）　と　（ウ）　を使います。　（⇦　3　で、　√(a－3)^2　の使う式が　（イ）　から　（ア）　に変わった）


上のことをふまえると、

y=√(x－6a)－ √(x+6a)
=√(a^2－6a+9) － √(a^2+6a+9)
=√(a－3)^2－√(a+3)^2

a≦－3　のとき
y=－(a－３)－{－(a+3)}=－a+3+a+3=6

－3≦a≦3　のとき
y=－(a－3)－(a+3)=－a+3－a－3=－2a

3≦a　のとき
y=a－3－(a+3)=a－3－a－3=－6

となります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
わかりやすかったです

お礼日時：2015/09/19 22:18