A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
なるほど・・・。
No.1 の回答が誤りでした。
a=b を bc=a^2 ・・・・・②
に代入して
ac=a^2
a>0 より 両辺を a で割って
c=a
したがって、三角形ABCは 正三角形 である。
No.2
- 回答日時:
(1) は第一余弦定理を使ってよいなら計算は楽なんだけど・・・
2つ使う。
b cosA + a cosB = c
c cosA + a cosC = b
それと (2) だけど、出てくる条件は、数列 b, a, c は等差数列であり等比数列でもあるとも読めるから、二等辺三角形では弱いと思うなあ。
No.1
- 回答日時:
次の問題がわかないので解説お願いします。
三角形ABCにおいて、2cosA+cosB+cosC=2が成り立っている時、次の問いに答えよ。
(1)a.b.c.の間に2a=b+cが成り立つことを示せ
余弦定理を使って、
2cosA+cosB+cosC=2
2×{(b^2+c^2-a^2)/2bc}+{(c^2+a^2-b^2)/2ca}+{(a^2+b^2-c^2)/2ab}=2
両辺に 2abc をかけて
2a(b^2+c^2-a^2)+b(c^2+a^2-b^2)+c(a^2+b^2-c^2)=4abc
2ab^2+2ac^2-2a^3+bc^2+a^2b-b^3+a^2c+b^2c-c^3=4abc
2a^3-a^2(b+c)-2a(b^2-2bc+c^2)+b^3-b^2c-bc^2+c^3=0
2a^3-a^2(b+c)-2a(b-c)^2+b^2(b-c)-c^2(b-c)=0
2a^3-a^2(b+c)-2a(b-c)^2+(b-c)(b^2-c^2)=0
2a^3-a^2(b+c)-2a(b-c)^2+(b+c)(b-c)^2=0
a^2{2a-(b+c)}-(b-c)^2{2a-(b+c)}=0
{2a-(b+c)}{a^2-(b-c)^2}=0
{2a-(b+c)}{a+(b-c)}{a-(b-c)}=0
{2a-(b+c)}(a+b-c)(a-b+c)=0 ・・・・・①
ここで、三角形の2辺の長さの和は、残りの辺の長さより大きいから、
a+b-c>0, a-b+c>0
したがって、①より
2a-(b+c)=0
よって、
2a=b+c ・・・・・①
(2)さらに、cos^2A+sinBsinC=1であるとき三角形ABCはどんな三角形か?
正弦定理を使って、
三角形ABCの外接円の半径をRとすると、
cos^2A+sinBsinC=1
1-sin^2A+sinBsinC=1
1-(a/2R)^2+(b/2R)×(c/2R)=1
両辺に 4R^2 をかけて
4R^2-a^2+bc=4R^2
bc=a^2 ・・・・・②
①より
c=2a-b ・・・・・①’
②に代入して
b(2a-b)=a^2
2ab-b^2=a^2
a^2-2ab+b^2=0
(a-b)^2=0
a-b=0
a=b
したがって、三角形ABCは AC=BC の二等辺三角形 である。
となりました。
(1) の因数分解が大変だと思いますが、 aについて降べきの順に並べて 式変形をしていってください。
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