無限級数の和を求める問題で部分和の考え方につまづいています

質問したい数学の問題を
http://goukaku-ch.com/wp/wp-content/uploads/2016 …
にPDFでアップしました。

この上部の枠に囲まれた問題のうち、（１）はわかりますが（２）がわかりません。


問題のすぐ下の「指針」の（２）に、
「部分和S_(2n-1), S_(2n)はすぐにわかるが、S_nを１つの式に表すのは難しい」
とありますが、
S_n=S_(2n-1)+ S_(2n) と表すのは間違っているのでしょうか？
（「奇数番目の項の総和」＋「偶数番目の項の総和」と考えました。）

そして、その２行目下の太字に、

「lim_n→∞ S_(2n-1)=lim_n→∞ S_(2n)=Sならばlim_n→∞ S_(n)=S」
とありますが、
lim_n→∞ S_(2n-1)=lim_n→∞ S_(2n)=Sならば
lim_n→∞ S_(n)=lim_n→∞ S_(2n-1)+lim_n→∞ S_(2n)=S+S=2S
ではないのでしょうか？

そしてその下の
「lim_n→∞ S_(2n-1)≠lim_n→∞ S_(2n)ならばS_(n)は収束しない」というのがなぜなのかわかりません。

≠のときでも2Sに収束するように思えてしまいます。
＝＝＝
自分の考えでいくと（２）の答案部分で、
最終行から２行めは
lim_n→∞ S_(2n-1)=lim_n→∞ S_(2n)=1であるからlim_n→∞ S_(n)=1
ではなく、lim_n→∞ S_(n)=1+1=2
と考えてしまいます。考え方のどこが間違っているのでしょうか？
＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋

＜追加質問＞
問題の下の「指針」の（１）に
「【注意】無限の場合は、無条件で項の順序を変えてはいけない」
とありますが、部分和が無限になるような無限級数とはたとえばどのようなものなのでしょうか？
例をあげていただけないでしょうか？

よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• ＞「S_(2n)」って
  ＞1番目から 2n番目までの和
  ＞のことじゃないの?
  
  あ、ほんとだ、そうですね。失礼しました。
  
  すると本に
  「lim_n→∞ S_(2n-1)=lim_n→∞ S_(2n)=Sならばlim_n→∞ S_(n)=S」
  と書いてあるのは
  im_n→∞ S_(2n-1)=lim_n→∞ S_(2n)=Sならば、
  lim_n→∞ S_(n)の値はこれらに一致するからSだよという意味ではなく
  （最初そう読んでしまいました）
  
  lim_n→∞ S_(n) = { lim_n→∞ S_(2n-1) + lim_n→∞ S_(2n) } / 2 = (S + S)/2=S
  という内容のことを略してるのでしょか？
  （もしそうならちょっと不親切・・・）
  
  ＝＝＝
  部分質問の「部分和が無限になるような無限級数」はやはり疑問ですね。
  「部分」和は必然的に有限だと思うのですが・・・。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/01/26 13:29

No.2 ベストアンサー 回答者： uyama33 回答日時： 2016/01/26 16:13

日本語の理解の問題です。

部分和Sη は有限であるから,項の順序を変えて和を求めてもよい。
図目 無限の場合は,無条件で項の順序を変えてはいけない。

の意味は、
たとえばシグマを使って和を表すときに
ｎ
Σ
k=1

で、S_(n)

∞
Σ
ｋ=1

で、無限個の要素の和を表したとする。
下のような場合には、項の順序を勝手に変えてはいけない。
という意味です。

さらに、
収束の理解ですが、
S_(m)→S　　（ｍ→∞）

については、
ｍが大きくなれば部分和がSに近づくことを意味します。

ただし、数列の性質から部分和の表現が面倒なので
ｍが偶数の場合には部分和がSに近づく。
ｍが奇数の場合にも部分和がSに近づく。
この二つから、
ｍが偶数でも、奇数でもどちらの場合でもｍが大きくなれば部分和がSに近づく。
したがって、ｍがどんな自然数でも、それが大きくなれば部分和がSに近づくことになります。
理由は、自然数には偶数と奇数しかないからです。

といっているのです。

この回答へのお礼

自分、てっきり、S_(2n-1)は奇数番目の項の総和、S_(2n)は偶数番目の項の総和だと勘違いしていました。
誤解がとけました。
ありがとうございます！

お礼日時：2016/01/27 10:16

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/01/26 23:47

うん?

「lim_n→∞ S_(2n-1)=lim_n→∞ S_(2n)=Sならばlim_n→∞ S_(n)=S」
はそのまま
「lim_n→∞ S_(2n-1)=lim_n→∞ S_(2n)=Sならば、
lim_n→∞ S_(n)の値はこれらに一致するからSだよという意味」
ですよ.

どうして違う解釈をとったのかはわかりませんが....

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2016/01/27 10:16

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/01/26 13:06

「S_(2n)」って

1番目から 2n番目までの和
のことじゃないの?

追加質問の「部分和が無限になるような無限級数」は, 私も正直疑問. そんなものを考える意味があるとは思えない. あ, 一応確認しておくと, 収束する級数でも項の順序を入れ替えると和が変わることがあるから注意だね.