
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
f(x,y)=x^2+y^2+y^3
fx=∂f/∂x, fxy=∂^2f/∂x∂yのように書く。
fx=2x
fy=2y+3y^2
fxx=2
fxy=0
fyy=2+6y
停留点は
fx=2x=0
fy=2y+3y^2=0
の解であり、
x=0,y=0または-2/3
停留点において
D=fxxfyy-fxy^2>0、fxx>0なら極小となる。
D=fxxfyy-fxy^2>0、fxx<0なら極大となる。
D<0なら峠点となる。
点(0,0)においてはD=4>0, fxx=2>0 ゆえに極小、極小値=0
点(0,-2/3)においてはD=-4<0 ゆえに峠点

No.2
- 回答日時:
関数 f(x,y) が連続な2階の導関数をもつとする。
また、(x0, y0) を関数 f(x,y) の停留点(fx(x0, y0)=0 かつfy(x0, y0)=0 となる点)とする。
さらに、
H = fxxfyy - 2fxy
=|fxx fxy |
|fyx fyy |
(行列式の意味)
とおく。 このとき点 (x0, y0) について次が成り立つ。
H(x0, y0) > 0 かつ fxx(x0, y0) > 0 ならば 関数 f(x,y) は (x0, y0) で極小
H(x0, y0) > 0 かつ fxx(x0, y0) < 0 ならば 関数 f(x,y) は (x0, y0) で極大
H(x0, y0) < 0 ならば 関数 f(x,y) は (x0, y0) で極値をとらない
------------------------------------------------------------------
fxは元の関数でyを定数と見做してxで微分。
fxxはfxをxで微分
fyも同様
fxyは元の関数でxyで微分。この項がないので=0
fx(x0, y0)=0 かつfy(x0, y0)=0は
fx=0、fx=0を連立で解けば、(x0,y0)が複数求まる。
これが極値や峠の候補。
あとは上の判定式で判定。
Hはfxx,fyy,fxyに(x0,y0)を代入。
後も代入計算。
H(x0, y0) < 0 ならば(x0,y0)が峠。
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