Z=cos(360°/7)+isin(360°/7)
(1)z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6を求めよ。
これは、等比数列とみて-1とでました。
(2)複素平面において、1,z,z^2,z^3,z^4,z^5,z^6があらわす点をP0,P1,P2,P3,P4,P5,P6とする。三角形P1P2P4tp三角形P3P5P6の重心をQ(α)、R(β)とおくとき、複素数α、βを求めよ。
(3)三角形P0QRの面積を求めよ。
(2)は、-1/6±(√7)/6i であっていますか?あっていなければ、答えを教えて欲しいです。
あと(3)がわかりません。解答の過程も教えてください。
どうぞよろしくお願い致します。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
回答は出てますので余計な参考程度に
確かに便利な表記なんですが、複素数というと皆さん難しく考える傾向性がありますね。
質問のケースは円を7等分する点を表してますね。原点から円上の等分点に線を引いて出来る線(方向が違いますからベクトル線ですね。)の合算は0になりますね。
z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6+z^7=0
z^7=1 だから
z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=-1
z^7=1 はP0 ですがこれは原点からx軸上で1を数えた点ですね。
それから重心点は#1のあっているとのお墨付きがありますので、これはx軸に対象な点ですから計算すべき三角形(二等辺)をxy座標で表すと頂点(1,0), 他の二点がそれぞれ(-1/6, -√7)/6), (-1/6, +√7)/6),
ですね。だから高さ(7/6) 底辺(√7/3)の三角形ですね。面積は、7√7/36 とか。
というようにxy座標でyにiがついてるだけと考えておけば今までの幾何学概念で解けますね。
No.1
- 回答日時:
(1)結果的には同じ式を使うのですが,z^7=1ですから,
z^7-1=0の左辺を因数分解してもいいと思います.-1でOK.
(2)合っていると思います.同じ答えになりました.ただしiは分子に書かないと.
α+βとαβを出して,根と係数の関係から.
(3)一般的に,原点,α,β(上の文字とは無関係)の3点があった時,
三角形の面積はαとβのなす角がargα-argβ=arg(α/β)ですから,
S=|α|・|β|・|sin arg(α/β)|/2になるので,Po基準にすればよいと思う.
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