2つの円が重なってできた図形の面積

平行な二つの直線に接している、直径８センチの2つの円が重なってできた斜線部の面積を教えて下さい。

No.1 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2016/02/26 09:08

2つの円と共通接線で囲まれる部分を入れるか入れないかで変わります。

図が不正確なのでそこが読み取れません。

入れるのなら簡単で

8×2＝16cm^2

です。

入れないなら

16π-3√15+32arcsin(√15/4)cm^2


です。

この回答へのお礼

共通接線で囲まれた部分も入れる問題でした。図がわかりにくくてすみません。ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2016/02/29 03:19

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/02/26 09:15

まず、基本方針として、

(2個の円の面積ー円の重なった部分の面積)÷2 が斜線の面積 （あ）

円の半径を R(=4cm), 円の中心間の距離を 2L(2cm) とします。

円の重なった部分は2つの扇形が重なっていますが、
重なっている部分はひし形なので


　円の重なった部分の面積＝2個の扇形の面積-ひし形の面積 （い）

です。

扇形の中心角の半分θは, cosθ=L/R だから θ=arccos(L/R)
扇形の面積＝ R^2π・2θ/2π = 2θR^2 (θはラジアン)

ひし形の高さ = 2√(R^2-L^2)
ひし形の幅 = 2L

なので、ひし形の面積 = 2L√(R^2-L^2)

従って、

円の重なった部分の面積＝4θR^2 - 2L√(R^2-L^2)

S= (2個の円の面積ー円の重なった部分の面積)÷2
= {2πR^2 - (4θR^2 - 2L√(R^2-L^2))}/2
= πR^2 - 2θR^2 + L√(R^2-L^2)

L=0 だと θ=π/2 で S=0

L=R だと θ=0 S=πR^2 となるので合っていそうです。

R=4 なら 0 から50.27 まで変化

L=1, R=4 を代入すると、θ=arccos(1/4)=1.318116 なので

S=11.958

オンラインなので、誤っていたらすいません。