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統計学の標準偏差について教えてください。

データのバラツキを表すために標準偏差の±1σ、±2σ、±3σの範囲内や範囲外という表現があることを理解しています。

プラス側については+3σ以上とか+3σ超過と言うことができます。
マイナス側は-3σ以下や-3σ未満と表現するものだと思っていました。

ところが知人から、「標準偏差は値の揺らぎの幅を表しているのだから、標準偏差で表す場合はマイナス側の範囲外も-3σ以上、-3σ超過というのが正しい」と言われました。

「±3σ以上」、「±3σ超過」と表現するようにプラス側もマイナス側も「以上、超過」になるとのことです。

つまり、データのバラツキを標準偏差で表現した時、マイナス範囲の表現は「以下、未満」ではなく
「以上、超過」で表現するべきで、数学的な不等式の表現が逆転するというのです。

マイナス範囲の表現がこのようになるということを習った記憶がありません。
本当なのでしょうか???

どなたか詳しい方がいらしたら、是非ともマイナス範囲の表現について教えていただきたいです。
よろしくお願い致します。

教えて!goo グレード

A 回答 (5件)

「平均値」を中心に、プラス側に3σ以上離れている、マイナス側に3σ以上離れている、という意味での「±3σ」なので、「以上」で問題ないと思います。

「上」「下」というのに違和感があれば、「±3σ超過」でもよいと思いますが、逆に「マイナスの超過って?」という疑問も生じます。
 まあ、あまり深く考えず、イメージ的に、普通の間隔で「±3σ以上」でよいのではないでしょうか。

 「平均値 - 3σ ~ 平均値 + 3σ」という「変数の範囲」で表わせば、「±3σ」の範囲から逸脱する部分は、「(平均値 - 3σ)以下」、「(平均値 + 3σ)以上」という言い方になりますから、「-3σ」側の逸脱範囲は「以下」と呼ぶことになります。
 質問者さんの「違和感」は、こちらの呼び方との類似感覚のせいではないでしょうか。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

とても分かりやすい回答を頂けました。
「-3σ以上」だけでは違和感がありますが、「(平均値から)-3σ以上(離れている)」と説明されると分かりやすいですね。

私は「変数の範囲」で考えていたのに対して、知人は「標準偏差の範囲」を基準に話をしていたのだと気が付きました。
回答者さんのおかげですっきりしました!!!

お礼日時:2016/03/14 21:59

友達の間違い。


3σ自体の大きさを評価するときは、以上の表現となりますが、平均値-3σの値を外れる場合は、当然、以下または未満です。
これ常識
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

「3σ自体の大きさを評価するときは、以上」、「平均値-3σの値を外れる場合は、以下」
簡潔で適切なご回答を頂くことができました。

私と知人では、範囲の話をしているのか数値の大小の話をしているのかで誤解があったようです。
標準偏差の理解を深める良い機会になりました。

ありがとうございます。

お礼日時:2016/03/14 22:56

>標準偏差で表す場合はマイナス側の


>範囲外も-3σ以上、-3σ超過というのが正しい

そういう曖昧で省略した言い方は避けるべきでしょう。
絶対誤解を生みます。

統計学の書籍をいくつか眺めてみましたが、
「範囲」という言葉を使うことが多いようですよ。

±3σの範囲内、±3σの範囲外、±3σの収まる範囲、
±3σの収まる範囲の外、±3σの範囲に収まらない、
±3σの範囲外のマイナス側、±3σの範囲外の下側、

などなど。これなら迷うことはないと思います。

私の調べた範囲では「超過」という表現を使う本は皆無でした。

まあ、堅実な表現か、数式で表現するのが一番かと。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

おっしゃる通りです。
「以上・以下」で表現してしまうと、私と知人のように誤解が生じる可能性がありますね。

私も回答者さんのご意見を頂いてから、統計学の書籍を読み返してみました。
標準偏差の範囲のことを指す場合は「範囲内、範囲外」と表現するようです。
範囲内・範囲外で表現していれば、マイナス側であっても「以上・以下」で誤解を招くことがありません。

とても良い解決策を頂きました。
ありがとうございます。

お礼日時:2016/03/14 22:46

>「標準偏差は値の揺らぎの幅を表しているのだから、標準偏差で表す場合はマイナス側の範囲外も-3σ以上、-3σ超過というのが正しい」と言われました。


日本語の問題だと思いますが
平均値を中心に 3σ以上離れている。と言えば
+側も -側も 以上(或いは 超過)の表現になると思いますが。
-3σ以下と云えば
-3σより平均値に近い方を意味します。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

私は統計学の問題だと思っていたのですが、日本語の曖昧さの問題でもあったようです。
「-3σ以上」とだけ言ってしまうと、多くの方は「(平均値より)-3σ以上(離れている)」と捉えるようです。

ただ、特定の数値があって「平均値-3σ」の値と比較しているケースにおいては、
「-3σ以上」とだけ言ってしまうと、「(平均値)-3σ(の値)以上」と解釈できてしまいます。

私と知人にはこの点で大きな誤解があったようです。
回答者の皆さんのおかげで疑問が解けました。

ありがとうございます。

お礼日時:2016/03/14 22:38

標準偏差だけで議論すえう場合は、偏差は幅の広さを示しているので、-3σ以上、-3σ超過の言い方が正しいです。

0~-3σの幅以上なのが-4σなので・・・。

実生活では、○○が-3σ以下と言う言い方をするのが一般的です。
この場合は、標準偏差が主体では無く○○が主体になるため、「○○の値が平均-3σ以下」と言う意味になりますね。

例えば、低身長の判断に良く使われる成長曲線では
「身長が-2SD以下になったら注意を要する」とか言いますが、主体が身長であり、「身長<=平均-2SD」と言ってる訳で、
「身長が-2SD以上になったら注意を要する」では通じません。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

確かに主体(主語)が何を指すかによって意味が変わってしまいますね。
○○という数値の話をしているのか、標準偏差の幅の話をしているのかがポイントになりそうです。

とても参考になりました。
ありがとうございます。

お礼日時:2016/03/14 22:29

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