鉄の玉と綿の玉

Question

ビルの屋上から同じ大きさの鉄の玉と綿の玉を落としたとき、どちらが先に地上に着き、その理由を説明するにはどうしたらいいか。教えてください。
私は鉄の玉だと思うのですが、運動に対する空気抵抗はないものとするというので違うのかなと思ったり・・。誰か教えてください。お願いします。

damegakusei · Accepted Answer

落下について↑向きを正の方向として高さｈから質量ｍの物体を落とす時の落下運動は近似線形化のもとで、

ｍｘ”＝－ｍｇ－ｄｘ’
ｘ（０）＝ｈ
ｘ’（０）＝０
（ｍは質量、ｇは重力加速度、ｄは粘性摩擦係数）

として定められます。
この式を変形し、

ｘ”＝－ｇ－（ｄ／ｍ）ｘ’

この場合、２物体間で質量が違えば当然、（ｄ／ｍ）に差ができるため、空気抵抗の受け方に差がでるので、着地のタイミングに差が出ます。

また、同様に、面積や表面の形状等が違えば、つまり大きさも含め形が違えば、ｄが変化を受けるので、同様に（ｄ／ｍ）に差ができるため、空気抵抗の受け方に差がでるので、着地のタイミングに差が出ます。

ただし、空気抵抗が無いとすれば、どちらもｄ＝０より
ｘ”＝－ｇ
なので、

ｘ＝（－ｇ／２）ｔ＾２＋ｈとなります。

ｔ＝√（２ｈ／ｇ）（秒）

において、どちらの物体もｘ＝０、つまり着地する、となります。

ちなみに
ｘ”＝－ｇ－（ｄ／ｍ）ｘ’
の解は

ｘ＝ｇｔ／Ｄ＋（ｇ／Ｄ＾２）{１－ｅｘｐ（Ｄｔ）}＋ｈ
（Ｄ＝－ｄ／ｍ　とする）

となるかと思います。
久々に計算したので計算ミスがあるかもしれません。
当然ｄやｍに相当する値に差があれば式は違うモノになりますね。

ちなみに空気抵抗が速度の１条に比例と言うのは近似線形化によるものらしく、実際はもっと複雑だそうです。
実際、剛体だと回転したりすればｄも時間変化しますし。

なので、あたりまえの話ですが、空気抵抗があればタイミングはずれます。
また、空気抵抗が無ければ同時に着地します。

尚、問題の趣旨からしてｇは定数とすべきかと。
ｇの値は実際、測定する場所によって変化するらしいので、（例えばエベレスト山頂と地下施設では当然違います）同じ場所で実際には２回に分け、同じ条件下で測定しなければなりませんね。

ちなみに、密度の大きい物ほどｄの値が小さくなり、逆に綿のように密度の小さいものではｄの値が大きくなります。

hono_mara · Answer

私は、質問者と同じく鉄の方が速く落ちると思います。

問題をそのまま読むと、
「空気抵抗が無視できる」とのことですが、真空とは言っていません。(宇宙ではなくてビルの屋上なので）
つまり空気の存在は否定してないと思われます。

空気があれば当然、浮力が発生しています。
（空気抵抗の有無と、浮力の有無は無関係です。）

浮力はその物体の体積と同じ体積の空気の質量に等しいです。
鉄と綿の体積をW、質量をそれぞれｍ１、ｍ２、空気の密度をρ、重力加速度をｇ、
それぞれの加速度をa1、a2とすれば、
落下中の運動方程式は
鉄：m1×a１　=　-m1×g　+　ρW
綿：m2×a２　=　-m2×g　+　ρW
となります。
従って、
鉄：a１　=　-g　+　ρW/m1
綿：a2　=　-g　+　ρW/m2
体積が等しい鉄と綿では鉄の方が重いので（m1>m2）、

a1＞a2

となり、鉄の方が速く落下します。

空気抵抗が等しくなるように（空気抵抗が０である必要はありません）同じ大きさにそろえた鉄の玉と木の玉を、
同時にピサの斜塔から落下させた場合も、
やはり上記の理由により鉄の玉の方が速く落ちると思います。

michina · Answer

Ｆ＝ｍａ，...（１）　が運動方程式で、Ｆ＝ｍｇ...（２）　が地球から物体に働く力です。この二つの式から説明出来ます。

まず、重いものほど、地球から加わる力が大きいということです。次に、重いものほど、動かすために大きな力が必要だということです。

つまり、質量ｍの物質にａという加速度を与えるためには、力Ｆが必要なのですが、その質量ｍの物質に働く重力の力がＦになるのです。
ａ＝ｇの場合、（１）式ののＦと（２）式のＦは等しいということ。

平易な言葉で言えば、重い物を動かすためには強い力が必要ですが、重力によって、重いものには強い力が働いているのです。逆に軽い物には、弱い力が働いているので、結局は、重いものも軽い物も同じ速さで落下していくのです。（但し、重力以外の力が働いていない場合。）

RZ350RR · Answer

夏休みの宿題でしょうか？

答えはどっちも同じです。

ガリレオがアリストテレス説を覆すためピサの斜塔の実験で証明したという逸話は有名ですね。

「重いものと軽いものはどちらが速く落ちるか」となったとき空気抵抗を除いて考えれば、どちらも同じように落ちます。

答えは自由落下は等加速度運動である。
その加速度は物体の質量によらず一定であること。
つまり、どんな質量の物体も同じ等加速度運動をしながら落下するというわけです。

似た質問で昔ありましたよね。
鉄の玉１ｋｇと綿１ｋｇはどっちが重いでしょう？
ってね。

参考URL：http://www.kagaku.info/index.htm

noname#14601 · Answer

重力加速度は全ての物に等しく働くので、
空気抵抗を無視すれば、大きさが同じだろうが
重さが同じだろうが同時に地上に到達します。
重力加速度　g = 9.80665 m/s2 

ただ、これは設問に無理があるように思えます。
真空中にビルが建っているという、常識では
ありえない前提ですから。

mushanoko-ji · Answer

同じ大きさ・・・ということは、重いのは、鉄の玉。
でも、等加速度運動の公式を使うとき、
重さは関係ない（公式内に代入できない）から、
鉄の玉も、綿の玉も、落下速度は、同じだと思います。

noname#7095 · Answer

鉄の玉と綿の玉が地球の反対側にある同じ高さのビルから落としたならご推察の通りですが、同じビルから落としたなら同時に地面に着くようです。
http://homepage3.nifty.com/iromono/PhysTips/fall.html

参考URL：http://homepage3.nifty.com/iromono/PhysTips/fall.html

runa_moon · Answer

こんばんは。

鉄の玉も綿の玉も同じ重さなら同時に地上に着きます。

同じ重さの物を同じ重力で引っ張られるので同時につくのです。

鉄の玉と綿の玉

落下について↑向きを正の方向として高さｈから質量ｍの物体を落とす時の落下運動は近似線形化のもとで、

私は、質問者と同じく鉄の方が速く落ちると思います。

Ｆ＝ｍａ，...（１） が運動方程式で、Ｆ＝ｍｇ...（２） が地球から物体に働く力です。

夏休みの宿題でしょうか？

重力加速度は全ての物に等しく働くので、

同じ大きさ・・・ということは、重いのは、鉄の玉。

鉄の玉と綿の玉が地球の反対側にある同じ高さのビルから落としたならご推察の通りですが、同じビルから落としたなら同時に地面に着くようです。

こんばんは。

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