円と直線の距離について

円と交わらない直線lがあったとき、円と直線の距離が最小になる円上の点の接線は、なぜ直線lと平行になるのですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2016/05/05 19:04

円と交わらない直線と円との距離が最小となる直線上の点は円の中心から直線に下ろした垂線の足になります。

なぜなら、円の中心をO,円上の任意の点をP,l上の任意の点をAとすると三角不等式から
AP≧OA-OP
となり、OPは一定(=円の半径),OAの最小値はAがOからlに下ろした垂線の足の場合で、等号が成立するのはO,A,Pが一直線上にある場合であり、この二つの条件がともに成り立つときAPは最小となります。

上記にあげた二つの条件が成り立つとき
l⊥OA
であり、PはOA上の点であることからPでの円の接線はOAに垂直になります。
よってこれら二つの直線は同じ直線に垂直となることから互いに平行であることがわかります。

No.1 回答者： 北のトラさん 回答日時： 2016/05/05 18:54

点と直線の距離で考えてみれば、分かると思います。

点と直線の距離は、点から直線に垂直に等分線を降ろせば（引けば）作図できますし、計算できます。なおかつ、最短距離です。

また、円の中心から接線に直線を引けば、垂線になっているわけですから、その接線と直線の傾きが同一でないと、
直線と接点（円）の距離が、最小にはならないためです。

参考までに。