２点の緯度経度から２点の交点の緯度経度を求めるには？

ある２地点の緯度経度及び方位角がわかっている場合、ある地点で２点の延長線が交わった地点の緯度経度を求めるにはどうすればよいのですか。
また、３地点の緯度経度、方位角がわかっていて、３地点の延長線上が交わらず（各２点は交わる）各２地点の交点で三角形ができたとき、この重点の緯度経度を求めるにはどうすればよいのですか。
地図上で線を引いて求めると思いますがもっと正確に求める計算式を教えてください。

No.5 回答者： sunspot_number 回答日時： 2004/07/31 23:15

説明下さり問題の意味がよくわかりました。

返答が遅くなりすみません。文章にまとめるのに時間がかかりました。またミスが無いか心配です。
計算に使用する角度の単位は度かラジアンかどちらかに揃えます。

《ご質問の一つ目》
〔ステップ１〕
まず二つの観測地点の地球中心から見た角距離を求めます。次のホームページを参考にして下さい。
『緯度と経度による距離計算』
http://www2.neweb.ne.jp/wd/nobuaki/New_Homepage/ …
角距離Δを以下の計算では便宜上 a で表します。

〔ステップ２〕
一方の観測地からみた他方の観測地の方位を求めます。これをそれぞれの観測地について次の計算式で計算します。

地点1の経度と緯度をそれぞれL1,B1とし、地点2の経度と緯度をそれぞれL2,B2とし、
地点1からみた地点2の方位（真北を0として東回りにはかった角度）をθとすると以下の手順で求められます。
　Y = cos(B2) * sin(L2 - L1)
　X = cos(B1) * sin(B2) - sin(B1) * cos(B2) * cos(L2 - L1)
　θ = atan2(Y, X)
　もし θ<0 なら θ = θ + 2π とし結果を0から2π未満に収めます。
　もしくは単位が度なら、もし θ<0 なら θ = θ + 360 とし結果を0から360未満に収めます。
※ 「*」は乗算、「/」は除算、sin()は正弦関数、cos()は余弦関数、
　　atan2(y, x)は逆正接関数です。

〔ステップ３〕
二つの観測地をそれぞれ地点B、地点Cとし、震源地を地点Aとする球面上の三角形ABCを作ると、
今、地点Bと地点Cを結ぶ辺を三角形の底辺にみたてます。

底辺aの長さは先に求めた角距離aです。
地点Cと地点Aの間の辺bの長さは角距離b（これを後で計算します）。
地点Bと地点Aの間の辺cの長さは角距離c（これは計算しなくてもいいのですが検算のためには必要となります）。

底辺aと辺cで挟まれる地点Bの角度をBとします。
この角度は初めに与えられた地点Bからみた震源方位とステップ２で求めた地点Bから地点Cをみた方位の差です。

底辺aと辺bで挟まれる地点Cの角度をCとします。この角度も初めに与えられた地点Cからみた震源方位とステップ２で求めた地点Cから地点Bをみた方位の差です。

底辺aの両端からそれぞれ角度Bと角度Cで大圏コースを進んだ交点である地点Aの位置を次の球面三角法の公式で計算します。
　cos(A) = -cos(B) * cos(C) + sin(B) * sin(C) * cos(a)
　sin(A) * cos(b) = sin(C) * cos(B) + cos(C) * sin(B) * cos(a)
これから角距離bが求まれば、回答No.1の「経緯度が既知の地点１から方位θへ…略…地点２の経緯度の求め方」を用いて地点Cから地点Aの座標を求めることが出来ます。

《ご質問の二つ目》
〔ステップ１〕
３観測地点で相手を換えて３震源候補地点が上の計算で求められますね。

〔ステップ２〕
その３震源候補地点からなる球面上の三角形の重心を求めますが、いかがでしょう。
今まで出てきた計算式の組み合わせと応用で重心も出せますね。

【補足】
角度の単位や、計算途中で方位と三角形の三つの角の関係に注意して下さい。
文章だけで説明しようとするとむずかしいです。画に描いてみて、あぁひょっとしてこれがこうなるってことかな？　なんてやってみて下さい。

　測量では３方向から見た方位を作図して測定誤差から三角形ができるとき最終結果の地点は三角形に内接する円の中心とすることもあるそうです。分野が違うからかも知れません。

【参考文献】
・「測量実務ハンドブック　改訂第７版」社団法人日本測量協会
・「理科年表 2001年版」丸善
・長谷川一郎著「天文計算入門」恒星社厚生閣

参考URL：http://www2.neweb.ne.jp/wd/nobuaki/New_Homepage/ …

No.4 回答者： sunspot_number 回答日時： 2004/07/27 03:16

puni2さんご指摘ありがとうございました。

測地学にはそのような習慣など無いと思います。
私は早合点して勝手に解釈してしまったようです。
しかも「重点」とあるのを「重心」と読み間違えていました。

質問者の方の補足説明を望みます。
具体的な用途も知りたいです。

この回答への補足

sunspot numberさん、puni2さん、質問の内容に不備があり、迷惑をおかけしました。
sunspot numberさんのおっしゃるとおりです。
私自身、測地学は素人でよくわかりせん。
質問の重点は重心の間違いです。
具体的な用途は、地震の震源を求めるためのものです。観測点の緯度経度がわかっており、地震波形から地震の到来方向（北を０度とし、時計回りの角度＝方位角）から地震の震源地（震央）の緯度経度を求めるというものです。

補足日時：2004/07/27 20:20

No.3 回答者： puni2 回答日時： 2004/07/26 03:53

数式そのものの回答は，きちんと球面三角法を勉強しなかった私には残念ながら手に余るので，書き込むのをさし控えていたのですが，質問文の不備で回答者さんに誤解を与えているのを見ると，やはり一言書いておいた方がよさそうです。

質問者さんは，この質問文を読んでおかしいとは思わなかったのでしょうか。（思わなかったからこそこうやって投稿しているのでしょうが）
それに比べたら，回答者さん，そんなに恐縮してお詫びするには及ばないと思います。

まず，「ある２地点の緯度経度及び方位角がわかっている場合」とありますが，「2地点の方位角」がよく分かりません。
だって，方位角ってのはそもそもある線を，その線上のある点から見たときの方角ですよね。
「2地点を結ぶ線の方位角」なら，一応理解できますが，さらに続けて
「ある地点で２点の延長線が交わった地点」
までくると，やっぱり分からなくなります。
どうやって点を延長するのでしょうか。
線を延長するのならわかりますが。

さんざん考えたあげく，要するに，こういうことが聞きたいのかな，と思いました。

「緯度経度が既知である2地点から，それぞれ方位角が既知である方位線を引いたとき，両方位線の交点の緯度経度を求めたい。」

後半の質問でも，「３地点の延長線上が交わらず」「各２点は交わる」「各２地点の交点で」などと書いていらっしゃいますが，いくら省略が許されるいっても，「地点の延長」は無理があります。

それとも，私が知らないだけで，測地学の業界などでは「1地点から引いた方位線」のことを省略して「1地点」と呼ぶ習慣があるのでしょうか。
もしそうでしたら無知をお詫びします。

No.2 回答者： sunspot_number 回答日時： 2004/07/25 00:22

間違いがありました。

訂正してお詫びします。
「３地点の重心」は「３地点相互の結ぶ測地線で囲まれた面の重心」へ、また
「平面三角形の重心をの地点」は「平面三角形の重心の地点」と読み替えて下さい。

三角形の重心についてのページURLは、
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math2/sansin.htm
でした。

投稿前のチェックが不充分でした。
誠に申し訳ありません。

参考URL：http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math2/sansin.htm

No.1 回答者： sunspot_number 回答日時： 2004/07/24 06:08

《ご質問の一つ目》、

地球を球体とみなして計算するなら、

経緯度が既知の地点１から方位θへ距離D[km]だけ大圏コースを進んだ場所（地点２）の経緯度の求め方。
地点１の経度と緯度をそれぞれL1,B1とし、
地点２の経度と緯度をそれぞれL2,B2とし、
地球の平均半径をR=6371[km]とすると、
　C = D * 180 / π / R
　B2 = asin( sin(B1) * cos(C) + cos(B1) * sin(C) * cos(θ) )
　ΔL = asin( sin(C) * sin(θ) / cos(B2) )
　L2 = L1 + ΔL
※ asin()は逆正弦関数、角度の単位は[度]を想定しています。

地球を回転楕円体とみなして計算する式は分量が多いので掲載は控えますが、
計算をしてくれる便利なページがあります。
http://www.arknext.com/utility/contents/gccj.html
２地点の経緯度から距離と方位の計算、
ある地点の経緯度とそこからの方位と距離を与えて離れた地点の経緯度を求める計算
の両方が出来ます。計算はJavaScriptで記述されていますのでソースを読めば計算方法はわかるでしょう。

《ご質問の二つ目》
３地点の重心を求めるには例えばそれぞれがそれほど遠距離でなければ、緯度経度から平面直角座標へ変換して平面三角形の重心をの地点を平面直角座標で求め、それを緯度経度に変換すればいいでしょう。

国土地理院のトップページ
http://vldb.gsi.go.jp/sokuchi/surveycalc/main.html
このサイト中に緯度経度から平面直角座標へ。またはその逆の計算式があります。
http://vldb.gsi.go.jp/sokuchi/surveycalc/algorit …

三角形の重心については例えばこのページ
file:///C|/MYDOCU~1/HP/三角形~1.HTM

参考URL：http://vldb.gsi.go.jp/sokuchi/surveycalc/algorit …