公共財の問題について

経済学の問題です。
色々と調べてみたのですが混乱していくばかりで解けませんでした。
解答と解説をできれば詳しく教えていただきたいです。

H人の消費量の効用関数がU^h=log(x^h)+log(G)で表され、全消費者の所得は1である。
x^h:消費者hの私的財消費量
G:公共財供給量
私的財価格、公共財価格はともに1
g^hを消費者hの公共財への拠出金額とすると、消費者hの効用はU^h=log(x^h)+log(g^h+Σ[h'≠h]g^h')と表される。
このとき
①均衡おける公共財供給量を求めなさい
②社会的厚生関数がW=Σ[h=1,H］U^hの場合の公共財の社会的最適供給水準を求めなさい
③Hが増加するとき、均衡における公共財供給量と公共財の社会的最適供給水準を比較して論じなさい

No.2 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/07/23 07:02

>ただ、(＊＊＊)の段階でG=1-g^hで答えとしてはいけないのかが少し気になります。

Gもg^hも内生変数（モデル内で決定される変数のこと）です。解とは内生変数を外生変数あるいはパラメータで表わすことなので、それではまだ答え（解）にはなっていないのです。

②の問題に進みましょう。
社会的厚生関数はすべてのｈについて対称的（symmetric)、効用関数も初期保有量もすべての個人について同じなので、社会的厚生が最大化された状態のもとでは消費量、拠出金も各個人の間で等しくなることはあきらか。
よって、x^h = x, g^h = g, U^h = Uと個人を示すｈを取り払って表わすと、社会厚生最大化問題は
W=ΣU^h = HU=H[log x + log G]
あるいは（両辺をH(定数）で除して）
W/H = log x+ log G
を
Hx + G = H
のもとで最大化することと書き換えることができる。ラグランジ法でも解けるが、ここでは代入法で、制約式よりG=H(1-x)とし、目的関数の右辺に代入し
W/H = log x + log H(1-x) = log x + log H + log (1-x)
と書き、右辺をｘについて微分し、０とおけばよい。すると、
１/x - 1/(1-x) = 0
よって
x = 1/2
これ上の制約条件に代入すると
H/2 + G = H
よって
G=H/2
を得る。これが社会的厚生を最大化したときの公共財供給量。

③については、均衡における公共財供給は①の答えより
G=H/(1+H)
よって、Hが無限大にいくと、Gは１に近づくことがわかる。一方社会的厚生を最大化したときの公共財供給量はつねに資源（初期保有量）の半分、よってH（人口）が増えるにつれて増えていく。

この回答へのお礼

お礼が遅れてしまい申し訳ありません。①〜③まで詳しく教えていただき本当にありがとうございました。疑問もすっきり解消しました！こういう方が先生なら良いのにと思うくらい分かりやすかったです！

お礼日時：2016/07/24 01:18

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/07/23 19:46

>ただ、(＊＊＊)の段階でG=1-g^hで答えとしてはいけないのかが少し気になります.

回答No2をチェックしてみたのでしょうか？まだ納得いかないのでしょうか？あなたの”気がかり”を別の言葉でいうと、たとえば、つぎの連立方程式を解いてｙの解を求めよと問われたとき
x + y = 3
x - y = 1
おあなたは何と答えますか？私の答えはｙ＝１というものですが、あなたの上の質問は”y = 3 - x" (第１式からｘを右辺に移項して得られる）では答えとしていけないのか気になるといっているのと同じです。これでは、ｙの解を求めたことにならないことはおわかりでしょう！未知数ｘが右辺に残っていては解とはいえないからです。

②と③の結果が整合的であるかをチェックする一つの方法は、得られた結果
②では x=H/(1+H), G = H/(1+H)
③では x= 1/2, G=H/2
を社会的厚生関数
W/H＝log x + log G
の右辺に代入し、②（均衡）と③（社会厚生最大化）のどちらが大きくなるかチェックしみることだ。本当に③の結果の方が②の結果よりも大きくなるだろうか？そうならないなら、何か間違っているはずです。チェックしてみてください！

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/07/22 22:57

①はH人のプレイヤーのゲームなのでナッシュ均衡を求める。

プレイヤー（消費者）ｈは(H-1）人の他のプレイヤーの戦略g^h'を所与として
max U^h = log x^h + log G
s.t.
x^h + g^h = 1
G = Σ(h=1,H)g^h

いま、λをラグランジェ乗数としてラグランジェ関数

L = log x^h + log G + λ[1 - x^h - g^h]

とおくと、最大化の一階の条件は

0 = ∂L/∂x^h = 1/x^h - λ
0 = ∂L/∂g^h = 1/G - λ
0 = ∂L/∂λ= 1 - x^h - g^h

よって、最初の２つ条件から
G = x^h (*)
3番目の条件（予算制約）より
x^h + g^h = 1 (**)
(*)を(**)に代入し
g^h = 1 - G (***)
(***)の両辺のΣ（つまりｈ＝１からｈ＝Hまでの加算）をとると
Σ(h=1,H) g^h = H(1-G)
よって
G = H(1-G)
を得る。これをGについて解くと（確かめよ）

G=H/(1+H)

これが均衡における公共財供給量である。
以上について質問があるならしてください。そのあと、②と③に向かいましょう。

この回答へのお礼

とても分かりやすいです。ありがとございました！ただ、(＊＊＊)の段階でG=1-g^hで答えとしてはいけないのかが少し気になります。
もしよろしければ、②と③もぜひ教えていただきたいです！

お礼日時：2016/07/23 00:57