xy平面において、曲線y=x^2をCとし、C上に点A(2,4)がある、このとき、次の条件を満たす正方

xy平面において、曲線y=x^2をCとし、C上に点A(2,4)がある、このとき、次の条件を満たす正方形の個数を求めよ

条件:Aを1つの頂点とし、残りの３つの頂点のうちの2つはC上にあり、１つは領域y>x^2に含まれる

これの解き方と答えを教えて下さいm(_ _)m

A以外の頂点をそれぞれP(a,a^2),Q(b,b^2)と置いて、bの解がいくつあるかで求める方法と、直線PQとy=x^2の交点で求める方法の2通りでやってみましたが、出来ませんでした。

No.4 ベストアンサー 回答者： hiccup 回答日時： 2016/07/30 22:20

No.3 のやり方で解いてみました。

正解かどうかは知りません。これが入試問題だったら、アイデアを示すぐらいで解くことはできないでしょう。


「+90°の回転」と書くときは「点(2,4)を回転の中心とする反時計回りに90°の回転」のことする。また、３頂点を共有する正方形の頂点を反時計回りにA、P、Q、Rとする。

(1)　A、P、RがC上にあるとき
曲線Cを+90°回転させると、辺APは辺ARに重なる。
その曲線をC1とすると、Cとの共有点はC上でR、C1ともども-90°回転させるとC上のPになる。
C1は、x+(y-2)^2-6=0　である。
f(x,y)=x+(y-2)^2-6　とおくと、f(x,y)<0 の領域はベロの上である。
f(0,0)=4-6<0
f(1,0)=1+4-6<0
f(0,-1)=9-6>0
C1の対称軸の下側に交点は無い。

f(-2,4)=-2+4-6<0
f(-3,9)=-3+49-6>0
よってC上(-2,4)から(-3,9)の間に交点がある。
これが点Rのただひとつの候補である。
(-2,4)、(-3,9)、(-3,4)を結んでできる三角形の領域（境界線は含まない）内に交点Rはある。
さて、-45°回転して√2倍する変換は
　　(x,y)　→　(x+y-4,-x+y+2)
である。この変換によって、交点Rは点Qに写る。また、三角形の内部は三角形の内部に写る。
いま、この変換によって上記三角形の領域が、y>x^2 の領域内に写ることを確認する。
　(-2,4)　→　(-2,8)　　8>(-2)^2
　(-3,9)　→　(2,14)　　14>2^2
　(-3,4)　→　(-3,9)　　9=(-3)^2
よって点Qはy>x^2の領域内にある。合格である。

(2)　A、P、QがC上にあるとき
曲線Cを+45°回転させ√２倍させると、点PはQに写る。
その曲線をC2とする。
CとC2の交点は、-45°回転して1/√2倍するとC上にある。つまり、点QとPである。
C2は　(-x+y+6)/2={(x+y-2)/2}^2　である。
　f(x,y)=2(-x+y+6)-(x+y-2)^2
とおくと、C2はf(x,y)=0である。f(x,y)>0はベロ本体である。
C2の頂点は(2,-6)、
f(4,0)=4-4=0
f(0,-1)=10-9>0
f(0,-2)=8-16<0
なので、C2の線対称の左半分はCと交わらない。

右半分と交わる点のA以外のものの範囲を定める。
f(-3,9)=16-36<0
f(-11/4,121/16)=87•48/(16•16)-45•45/(16•16)>0
よって点Qは、(-11/4,121/16)と(-3,9)と(-3,121/16)を結ぶ三角形の内部にある。
+45°回転して1/√2倍する変換は
　　(x,y)　→　( (x-y+6)/2, (x+y+2)/2)
で、
　(-11/4,121/16)　→　(-69/32,109/32)　　109/32=109•32/(32•32)=54.5•64/(32•32)<(-69/32)^2
　(-3,9)　→　(-3,4)　　4<(-3)^2
　(-3,121/16)　→　(-73/32,105/32)　　105/32=105•32/(32•32)=52.5•64/(32•32)<(-73/32)^2
なので、点Rは領域y>x^2にない。

(3)　A、R、QがC上にあるとき
曲線Cを-45°回転させ√２倍させると、点RはQに写る。
その曲線をC3とする。
C3は　f(x,y)=2(x+y+2)-(x-y+6)^2　とおくと、C3はf(x,y)=0である。f(x,y)>0はベロ本体である。
C3の頂点は(-4,2)、どうでもよいか。
候補の点は
f(-1,1)=8-16<0
f(-2,4)=8-0>0
より　(-1,1)、(-2,4)、(-2,1)を結ぶ三角形の内部、
f(-11/4,121/16)=-1273/256<0
f(-5/2,25/4)=63/16>0
より　(-11/4,121/16)、(-5/2,25/4)、(-11/4,4/25)を結ぶ三角形の内部、
f(4,16)=44-36>0
f(5,25)=64-196<0
より　(4,16)、(5,25)、(5,16)を結ぶ三角形の内部にある。
これらはQで、この３点を試す。
-45°回転して1/√2倍する変換は
　　(x,y)　→　( (x+y-2)/2, (-x+y+6)/2)
で、
　(-1,1)　→　(-1,4)
　(-2,4)　→　(0,6)
　(-2,1)　→　(-3/2,9/2)　いずれも y>x^2 を満たす。

　(-11/4,121/16)　→　(45/32,261/32)
　(-5/2,25/4)　→　(7/8,59/8)
　(-11/4,25/4)　→　(3/4,15/2)　いずれも y>x^2 を満たす。

　(4,16)　→　(9,9)
　(5,25)　→　(14,13)
　(5,16)　→　(19/2,17/2)　いずれも y>x^2 を満たさない。

なので、上の２つが合格である。

(1),(2),(3)より、条件を満たす正方形は３つ。

No.3 回答者： hiccup 回答日時： 2016/07/25 22:23

図形の回転と拡大が使えるならヒントにしてね。

正方形があって点Aの対角がC上にないとき、C を点(2,4)を回転の中心として反時計回りに90度回転すると、Aの右の頂点が左の頂点に移動する。時計回りに90度回転すると、左の頂点が右の頂点に移動する。
なので、Cと、どちらかの回転で写したCとの交点をもとにできる。
ざっと見たところ、A以外にひとつあるだけのようである。
これが候補で、適するかチェックすればよい。

次に、点Aの対角がC上にあるときは、C を点(2,4)を回転の中心として45度回転させて√2倍した図形との交点を考えるとよいはずだ。
回転の方向は２つあり、これらから求めたものは別の正方形を与える。
反時計回りなら、図形の方程式は
　2(-x+y+6)=(x+y-2)^2
ではなかろうか。
　f(x,y)=2(-x+y+6)-(x+y-2)^2
とおいて、f(x,y)=0 は曲線上、f(x,y)>0 はベロの上、f(x,y)<0 はベロの外
であることを利用して場所を絞り込むことができると思う。
たとえば、f(0,0)=12-4>0, f(0,-1)=10-9>0, f(0,-2)=8-16<0 なので、下側に共有点は無いようである。
また、f(-3,9)=36-16>0, f(-4,16)=52-100<0 なので、もう一つの交点は、C上(-3,9)と(-4,16)の間にあることがわかる。

参考までに。

この回答へのお礼

なるほど……
明日起きたらその解き方でやってみます！
ありがとうございます！

お礼日時：2016/07/26 23:56

No.2 回答者： tekcycle 回答日時： 2016/07/24 12:41

その出来なくなったあなたの経過を書くことです。

> bの解がいくつあるか

意味が判りません。

> 直線PQとy=x^2の交点で求める

で、交点の条件は？

問題の切り口としてはどちらもありだろうと思いますが、条件付けが正しいかどうかでしょう。まずは。
条件が正しいなら、解き方が複雑になったとしても、解けるような気がします。

No.1 回答者： tosa0824 回答日時： 2016/07/24 02:11

Aを通る2本の直線が直角の関係で、片方の傾きをa(キ0)とすると、もう一方の直線の傾きは-(1/a)なので、

y-4=a(x-2) よってy=ax-2a+4 …(1)
y-4=-(1/a)(x-2) よって y=-(1/a)x+(2/a)+4 …(2)
(1)にy=x^2を代入してその解のうち(2,4)以外の解をaで表し、(2,4)との距離pを求める。
(2)に、(1)と同じくy=x^2を代入してその解のうち(2,4)以外の解をaで表し、(2,4)との距離qを求める。
p=qをaで表し、その方程式の解の個数が正方形の個数となる。
でどうでしょうか。

この回答へのお礼

ありがとうございます
やってみます

お礼日時：2016/07/24 11:28