中学生への教え方（代入法）

Question

私は６月から塾講師のバイトを始めました。
中２の数学を教えているのですが、今、連立方程式をやっています。
そこで、「代入法」が分からないというのです。
私なりに説明してみたのですがいまいち納得してくれません。
例えば

　　　　　　　　ｂ＝ａ＋２　　　‥‥(1)
　　　　　　　　２ａ＋ｂ＝８　　‥‥(2)
という問題は

　　　　　　　２ａ＋(ａ＋２)＝８　　‥‥(3)

として解いていけば良いのですが、私の生徒は(1)の式を
　　　　　　　　－ａ＋ｂ＝２
として、加減法を用いて計算してしまいます。でもその問題は「代入法を用いて‥」なのです。
どうしても(3)の式になる意味が分からないようです。

私にとっては当たり前のことなのでどう説明したら良いか分かりません。
どなたか分かりやすい教え方があったら教えて頂けないでしょうか。
塾講師の仕事に自信がなくなってきています‥

twins-mama · Accepted Answer

私も同じことで苦労した覚えが…。かなり昔のことですけど。

確かに代入法を知らなくても、連立方程式は解けますよね。しかも、この問題なら加減法を用いても計算は簡単で代入法のありがたさは感じられないですし。

では、cemiさんはなぜ代入法が必要だと思いますか？
私はこう考えます。
(1)代入法を知ってたら楽に解ける連立方程式がいっぱいある
(2)加減法では解けない連立方程式が高校に入ればいっぱい出てくる
(3)変数を減らせる

(1)はあまり難しい問題だとやる気をなくすし、(2)は中学の範囲ではないので、
まず方程式から離れて(3)からアプローチしてみてはどうでしょう。
「b=a+2　のとき、2a+b　をaだけで表してみよう」
という問題に変えてみては？
このパターンの問題をいくつかさせてみて、元の問題に戻るとスムーズに行く気がします。
（いかなかったらごめんなさい）

「代入法」という道具を使いこなすことも大事ですが、なぜその道具が必要なのか？ということを考えることで、見えてくる教え方もあると思いますよ。

tosiki · Answer

NO,９の続きです。
当然、先生の教える、
２ａ+ｂ＝８のｂをａ+２に置き換えるのが一番早い
解の求め方でしょうが、no,9からの解の求め方も考慮すべきです。
代入に気が付かなくても、解が求められますし、連立方程式の理解が深まるからです。

回答出来た生徒の中にはAに次々数字を入れ回答する者などが多いです。
No,9の方法を説明し、解答させ、こちらの方が早いんだと代入法に移行させてはどうでしょうか？

tosiki · Answer

はっきり言って私も分かりません。

どこに回答の足場があるか、
これを見つけさせるのが一番重要です。

はじめにbを求めては？
ａから求めさせるのは中学生には無理があります。

ｂ＝ａ+２(1)
２ａ+ｂ＝８(2)

（２）はｂ＝－２ａ+８になりますから、

ｂ＝ａ+２
ｂ＝-２ａ+８

ａ+２も-２ａ+８もｂですので，同じ数値ですから、
ａ+２＝-２ａ+８という事になります。

３ａ＝６
ａ＝２です。（逆にａの答えが出てきました。＾＾）
ｂ＝４です。
※更に検算します。
４＝２+２
４＝-４+８
です。正解！

※どうやら生徒達はｂはａより２大きい数字だと理解していないようです。＾＿＾；

ａから取り付くと、
２ａ+ｂ＝８(2）→ａ＝１／２ｂ+４
高校生レベルになってしまいます。
これは出来る生徒にこちらからやらせるべきです。

keeps · Answer

話は違うかもしれませんが、高校の物理の問題では、加減法では解きにくく、代入法でとけやすい問題もありますね。
「代入法の方が解けやすい問題もあるんだよ」とアドバイスするのもひとつの手かもしれません。

p-masa · Answer

問題集には「代入法で解きなさい。」という問題はありますが、テストでは、ほぼ100%そのような限定付きではでないので、苦手な子どもには加減法のみで押し通してしまうのも手です。むしろ、１つの問題に対して解き方をいくつか習うと、どれを使うか？ということで悩み、ミスをしてしまうことも多々あり、子どもの理解度によって“教えない”ということも“塾講師としての指導”としては重要です。
　ただどうしてもという場合はまず連立方程式の解き方のプロセスから説明する必要があります。
つまり、連立方程式というのは、“文字２つで式２つ”、これでは答えが出せないので、式を1つ減らす代わりに文字が1つの式を作る、そうすれば１年で習った方程式と同じだから解けるでしょう、ということを理解させます。
そして代入法は、
ｂ＝ａ＋２　←これは文字を減らすためのおまけ式
２ａ＋ｂ＝８　←メインの式
と2つの式の違いを意識させた上で、
「ｂ＝ａ＋２というのは、ｂとａ＋２は同じつまりｂの代わりにａ＋２を入れてもいいんだよ、ただしｂ＋２は1つのかたまりなので、(　)をつけて(ａ＋２)としておきましょう」と伝え、
そして、紙(黒板)に　２ａ＋　ｂ　＝８と大きめにシャーペンで書いて、「この式はにｂがあるでしょう。で、ｂはおまけの式から(ａ＋２)と同じなので、」といい、
紙に書いた２ａ＋ｂ＝８のｂを消してその消した部分に(ａ＋２)を書き入れて、「こうしてもいいはずだよね。そうすれば、ａだけの式になったから後は解けるでしょう。」
てな感じで教えればだいたい出来る様になります。
　ただ、その後代入法を使った方が適切な問題のときに代入法を使ってくれるかどうかは別です。もし、そうしたければ、いろいろな問題を見せて、解く前にこれはどっちを使った方がいい？と選択のみの練習を積む必要があります。

imt52 · Answer

たぶん、代入法が理解できないというより、どうせ同じ答えが得られるのに、なぜ二つもやり方を覚えるの？て思うんでしょうね。だからつい、あなたの代入法の説明を聞き流してしまい、「もうわかってる加減法でやればいい」と思ってしまうのではないでしょうか。

まずは同じ問題に対して、加減法と代入法、二つの方法を比べられるように見本として解いてあげたらどうでしょう？今は同じ答えは得られるけど、代入法をマスターしていたらこの先、いろんな問題が解ける！・・それが実感としてわかるようになれば、
代入法を覚える意味を感じてくれるように思います。

私も家庭教師や塾講師の経験はありますが、なにぶん素人ですので、あまり自信はありません（すみません）
ただ、彼らにとっての意味や目標は、中学生くらいの子にとって、我々が思うよりずっと大事なことのようには感じていました。

先生、どうか自信を失わないでください。
あなたが悩むのは、自分の仕事に一生懸命で熱意があるからですよ！どうか頑張ってくださいね。

Rossana · Answer

２ａ＋(ａ＋２)＝８
には括弧がついているのに，
ｂ＝ａ＋２にはついてないじゃん！とかいう感じなのでしょうかね．違う視点で式を考えている天才かただの馬鹿かは分かりませんが，その説明は大変ですね．
文字だと分かりにくいので，こんな方法はどうでしょうか？
色鉛筆でbのところをみかんの絵に変えて，aのところをりんごの絵に変える．そうすると色付きなので，右脳を活用させることで理解がしやすくなるかもしれません．
＞加減法を用いて計算してしまいます。
その生徒さんの頭の中には加減法の考え方はインプットされているけど代入法はないんじゃないでしょうか？
一般には，昔の人がパソコンを容易に扱えないように．
これは僕の推測にすぎませんが，脳での考え方を加減法に限定させて
ｂ＝ａ＋２　　　‥‥(1)
２ａ＋ｂ＝８　　‥‥(2)
を考えてみて下さい．これらはどのように足しても引いてもいきなり２ａ＋(ａ＋２)＝８にはできないですね．敢えて似たように加減法でやるなら
(1)-(2)より
2a＝8-(a+2)
2a+(a+2)=8と導くしかないですが．
とりあえず，分かるまでやらせてある程度分かったら代入法の問題をいくつか解かせる→次第に分かる→完全に分かるって感じでやってみてはどうでしょうか？
とにかくあらゆる教え方を考えてみて下さい．頑張って下さい．こんなことで自信を無くす必要はありません．こんな代入法の問題が分からなかったら日本は終わりですね！！

kurobe3463 · Answer

最後は本人の悟りですが・・・

4x+5

という式で
x=1 ならば 4×1+5=9
x=2 ならば 4×2+5=13
x=-1 ならば 4×(-1)+5=1
x=a ならば 4×a+5=4a+5
x=b ならば 4×b+5=4b+5
x=-a ならば 4×(-a)+5=-4a+5
x=a+1 ならば 4×(a+1)+5=4a+9
x=a-2 ならば 4×(a-2)+5=4a-3
x=a+2 ならば 4×(a+2)+5=4a+13

といった例を演習させるくらいしか思いつかないけど・・・

「代入」の難しさは x=3 のような数ならば，理解はたやすいのですが，
x=a+2 のような式の場合，難しさが倍増するようです．
これって実は代入ではなく，「関数の合成」なんですよね．
a+2 という式でも，実際は「一つの数を表している」という悟りに達することが出来るかどうか・・・

２次方程式 ax^2+bx+c=0 の判別式 D=b^2-4ac という公式がありますが，
２次方程式が x^2+2x+m-6=0 で，公式の定数項 c が式m-6 と捉えられるのは学力の高い子です．c=m （あるいはc=-6）としてしまう生徒は結構いますね．（そういう学校で仕事してます）

kittychan717 · Answer

あたしも家庭教師をしていて、中２の女の子を教えています！
代入という言葉の意味を教えてみてはどうでしょう？
代入＝入れるとか、簡単にアレンジしてみればどうですか？
bは、a+2って書いてあるよね？だから、２の式の所にa+2って入れるんだよ。これを代入っていうんだよとか、簡単な言葉で表してみてはいかがですか？
お互いがんばりましょうね！

kajina · Answer

塾講師のバイトごくろうさま。
確かに当たり前の気もしますが、代入の言葉の意味がわからないのかなぁ？
代入を消去と言い換えてみてはどうでしょうか。片方の文字を消して一つにした方が見やすい、みたいな。
でも、どちらにせよ本質的な意味は同じだと思うのですが、どうなのでしょうかね。アドバイスになっていなくてごめんなさい。

中学生への教え方（代入法）

私も同じことで苦労した覚えが…。

NO,９の続きです。

はっきり言って私も分かりません。

話は違うかもしれませんが、高校の物理の問題では、加減法では解きにくく、代入法でとけやすい問題もありますね。

問題集には「代入法で解きなさい。

たぶん、代入法が理解できないというより、どうせ同じ答えが得られるのに、なぜ二つもやり方を覚えるの？て思うんでしょうね。

２ａ＋(ａ＋２)＝８

最後は本人の悟りですが・・・

あたしも家庭教師をしていて、中２の女の子を教えています！

塾講師のバイトごくろうさま。

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