高校数学

至急お願いします！

表面積が一定値Aである直円錐を考える。底面の半径をrとして次の問いに答えよ。
（1）円錐の高さhをrで表せ。
（2）円錐の体積をVをrで表せ。、またVの最大値を求めよ。

質問者からの補足コメント

• 最大となるときはどんなときですか

    補足日時：2016/09/29 08:44

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/09/29 20:33

No.1です。

最大値を求める前の段階までは理解できたのですか？
最大値は、r の関数である V が極値をとる、つまり dV/dr = 0 となる r を求めます。この極値が極大であれば、これが V の最大値になります。

ていねいには書きませんでしたが、最大値を求めるにはきちんと整理しないといけませんね。

　h = √{ [ (A - パイ*r^2)/(パイ*r) ]^2 - r^2 }
　　= √{ [ (A/パイ*r) - r ]^2 - r^2 }
　　= √[ (A/パイ*r)^2 - 2A/パイ - r^2 - r^2 ]
　　= √[ (A/パイ*r)^2 - 2A/パイ ]

よって
　V = (1/3)パイ*r^2*h
　　= (1/3)パイ*r^2*√[ (A/パイ*r)^2 - 2A/パイ ]
　　= (1/3)パイ*r*√[ (A/パイ)^2 - 2Ar^2/パイ ]

r は実数なので、ルートの中は
　　(A/パイ)^2 - 2Ar^2/パイ ≧ 0
r≧0 より
　　0 ≦ r ≦ √(A/2パイ)　　　①
この範囲の両端では V → 0 になるので、V の極値は「最大」である。

よって、V の極値を求めるために r で微分して
　dV/dr
= (1/3)パイ*√[ (A/パイ)^2 - 2Ar^2/パイ ] + (1/3)パイ*r*(1/2√[ (A/パイ)^2 - 2Ar^2/パイ ])*(-4Ar/パイ)
= (1/3)パイ*√[ (A/パイ)^2 - 2Ar^2/パイ ] - (2/3)A*r^2/√[ (A/パイ)^2 - 2Ar^2/パイ ]

極値をとるのは dV/dr = 0 より
　(1/3)パイ*√[ (A/パイ)^2 - 2Ar^2/パイ ] - (2/3)A*r^2/√[ (A/パイ)^2 - 2Ar^2/パイ ] = 0
整理して
　r = √(A/4パイ)
これは①の範囲に入っています。

このとき V は最大値をとり
　h = √[ (A/パイ*r)^2 - 2A/パイ ]
　　= √[ (A^2/パイ^2) * (4パイ/A)- 2A/パイ ]
　　= √[ 4A/パイ- 2A/パイ ]
　　= √[ 4A/パイ- 2A/パイ ]
　　= √(2A/パイ)
より
　V = (1/3)パイ*[ √(A/4パイ) ] ^2*√(2A/パイ)
　　= (1/3)パイ*(A/4パイ)*√(2A/パイ)
　　= (√2 /12) * √(A^3 /パイ)
かな？

計算違いしているかもしれないので検算してください。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/09/28 23:17

どこが分からないのですか？

体積や表面積が分かれば解けますか？

直円錐の体積は、
　V = (1/3)パイ*r^2*h
表面積は
　S = パイ*r*√(r^2 + h^2) + パイ*r^2

表面積が A で一定だと
　S = パイ*r*√(r^2 + h^2) + パイ*r^2 = A
より
　√(r^2 + h^2) ＝ (A - パイ*r^2)/(パイ*r)
　r^2 + h^2 ＝[ (A - パイ*r^2)/(パイ*r) ]^2
　h^2 ＝[ (A - パイ*r^2)/(パイ*r) ]^2 - r^2
　h = √{ [ (A - パイ*r^2)/(パイ*r) ]^2 - r^2 }

体積は
　V = (1/3)パイ*r^2*h
　　= (1/3)パイ*r^2*√{ [ (A - パイ*r^2)/(パイ*r) ]^2 - r^2 }