公共財と便益（計算問題）

下記の問題についてご教授ください。

人口12000人の町にある図書館の最適な蔵書数を考える。この町の住民のうち5000人は読書好きであり、蔵書数xの図書館が町にあることから一人当たり100√xだけ便益を得る。残りの7000人は読書に興味がなく、図書館からは全く便益を得ることがない。

問１　蔵書を１冊増やすためにかかる費用が1000円のとき、最適な蔵書数を求めなさい。
問２　蔵書を増やすための費用はすべての住民で均等に負担することにして、今年度新たに購入する蔵書の数を住民投票で決めると、何冊になるか。
問３　すべての住民から強制的に費用を徴収するのではなく、自発的な出資を募って蔵書の購入資金を集めるとする。購入できる蔵書は「問1」と比べて多いか少ないか。多くなる場合は多くなる理由、少なくなる場合は少なくなる理由を述べよ。

以上が問題です。
お手数お掛けしますが、
ご教授のほどよろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/10/09 06:10

No1の訂正です。

>問3．多くも少なくもない。最適蔵書数は問1の結果と同じになる。要するに、蔵書より住民が受ける総便益とは本好きな住民の、蔵書から得る便益だ。この人たちはこの便益を受けるために、一人当たり1000×62500÷5000＝12500（円）を喜んで負担しようとする。

と書きましたが正しくありません。本好きの住民が全員12500円負担するなら、この最適蔵書ｘ＝62500（冊）は実現するが、自分は支払わなくてもほかの人たちが支払うだろうからと、出資をしぶる人がいるなら（いわゆるフリーライダーがいるなら）、実現しない。したがって、一般的には、出資金は最適蔵書に必要な62500000円には達しないだろう、したがって「少なくなる」とするのが正解。私的財とは違って、蔵書から得る便益は自分が支払わなくても受けることができるので、いわゆる「囚人のジレンマ」に陥って、蔵書への出資金はゼロということすらありうる。

この回答へのお礼

いつも、ありがとうございます！！！

お礼日時：2016/10/26 14:22

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/10/08 16:58

蔵書数ｘより住民が受ける総便益＝5000(100√x)＝500000√x

蔵書数ｘを揃える総費用＝1000ｘ
よって、総便益から総費用を差し引いた純純便益（社会的余剰）をNBと書くと
NB(x) = 500000√x - 1000x
最適な蔵書数はNBを最大化するｘだから、最大化の1階の条件はNBをｘで微分し０とおくこと。よって
0 = NB'(x) = 250000x^(-1/2) - 1000
よって　
√x = 250
x=62500(冊）
が最適蔵書数。これが問1の答え。
問2．12000人の住民の過半数である7000人は図書には関心がないから、その人たちは1円でも負担しようとはしない。住民投票をすれば図書購入には反対票が賛成票を上回るので、本は1冊も購入されない。
問3．多くも少なくもない。最適蔵書数は問1の結果と同じになる。要するに、蔵書より住民が受ける総便益とは本好きな住民の、蔵書から得る便益だ。この人たちはこの便益を受けるために、一人当たり1000×62500÷5000＝12500（円）を喜んで負担しようとする。