xの多項式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)の解き方を教えて下さい。 お願いします。

xの多項式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)の解き方を教えて下さい。
お願いします。

質問者からの補足コメント

• 言葉足らずですみません。計算方法は分かるのですが、例えば(X+1) (X+2) (X+3) (X+4)で (X+1) (X+4)と (X+2) (X+3)と解くような解き方があるのか知りたかったので(>_<)
  (X+5)をいれ順番に解くとテストの際、時間がかかってしまうので、簡単なやり方があればと(>_<)

    補足日時：2017/01/08 17:42

No.11 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2017/01/08 21:09

スピードで言えば、別解1が早いです。

a,.b,c,d,eの組合せは、樹形図を使うと、早く導ける！
10通りとわかっているから、例えば、3次項は、
a,ーb
aーc
aーd
aーe

bーc
bーd
bーe

cーd
cーe

dーe となります。

別解3 ここでは、項の組合せを変えて、
与式=(x+1)(x+5) (x+2)(x+4) (x+3)
=(x^2+6x+5) (x^2+6x+8) (x+3)

x^2+6x=x(x+6)=t とおくと t^2=x^2(x+6)^2
=( t+5)(t+8) (x+3)
=( t^2+13 t+40)(x+3)
=｛x^2(x+6)^2+13x(x+6)+40｝(x+3)

=｛x^2(x^2+12x+36)+13x^2+78x+40｝(x+3)
=｛x^4+12x^3+36x^2)+13x^2+78x+40｝(x+3)
=｛x^4+12x^3+49x^2+78x+40｝(x+3)
= x^5+12x^4+x49x^3+78x^2 +40x
+3x^4+ 36x^3+147x^2+234x+120
= x^5+15x^4+85x^3+225x^2+274x+120 …答え

この回答へのお礼

丁寧に説明してくださり本当に有難うございました。

ベストアンサーはすごく迷いましたが、何度も丁寧に教えていただいたsc348253さんにしました。

皆さん有難うございました。

お礼日時：2017/01/08 21:44

No.10 回答者： sc348253 回答日時： 2017/01/08 19:57

別解1と別解2の組合せは、逆だね！(但し、今回は、どちらも10通りでしたが！)

No.9 回答者： k_jinen 回答日時： 2017/01/08 19:41

#1です

簡単かどうかは人それぞれの感じ方ですが
y=x+3
とすれば、
与式=(y-2)(y-1)y(y+1)(y+2)
=(y-2)(y+2)(y-1)(y+1)y
=(y^2-4)(y^2-1)y
=(y^4-5y^2+4)y
=y^5-5y^3+4y
後はyを(x+3)に戻し、二項定理、パスカルの三角形
http://wakarimath.net/explanation/q.php?pID=E00065
を使って、係数を入れながら、展開すればいい。

No.8 回答者： sc348253 回答日時： 2017/01/08 19:15

与式=f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)(x+e)

とおくと

定数項; abcde= 1・2・3・4・5=120
4次項; a+b+c+d+e=1+2+3+4+5=15
1次項; abcd+abce+abde+acde+bcde
=2・3・4+2・3・5+2・4・5+3・4・5+2・3・4・5
=24+30+40+60+120=274
よって
f(x)=x^5+15x^4+mx^3+nx^2+274x+120 とおける
(m, nは、未定係数とする)
条件より 剰余の定理より
f(-1)=ー1+15ーm+nー274+120=0 …い
f(-2)=ー32+240ー8m+4nー548+120=0
よって、連立方程式を解くと m=85 n=225
∴ 与式=x^5+15x^4+85x^3+225x^2+274x+120 …答え
この式は、f(-3)=f(-4)=f(-5)=0 をも満たすので、
必要十分条件によって この答えは、正しい！

別解1
は、確率の考えを用いて、
3次項は、組合せの 5 C 3 =5・4・3/(3・2・1)=10 通りあるから、
よって、
3次項; ab+bc+cd+de+ac+bd+ce+be+ad+ae
=1・2+2・3+3・4+4・5+1・3+2・4+3・4+2・5+1・4+1・5
=85
f(x)=f(x)=x^5+15x^4+85x^3+nx^2+274x+120 とおけるので、
f(-1)= 0より、n=225
∴ 与式=x^5+15x^4+85x^3+225x^2+274x+120 …答え
同じく、f(-2)=f(-3)=f(-4)=f(-5)=0 を満たすので、正しい！

別解2
も同じ考えで
2次項は、組合せの 5 C 2 =5・4・/(2・1)=10 通りあるから、

2次項=abc+abd+abe+acd+ace+ade＋bcd+bce+bde+cde=225
よって、

∴ 与式=x^5+15x^4+85x^3+225x^2+274x+120 …答え

この場合は、余りの定理を使ってないので、十分条件は不要です！

best solution 58歳の男より 先生じゃないよ！独学したからね！

No.7 回答者： isoworld 回答日時： 2017/01/08 18:33

何を解くのでしょうか。

方程式にはなっていないので、根の解きようがありません。もっと方程式の基本を理解しないと。

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2017/01/08 16:27

確率 を使ってもできそうだが、兎に角待ってね！ゴメンね！

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2017/01/08 15:54

10日まで忙しいので、それ以降で、

発想を変えて、連立方程式を解けばいいと思うがね！待ててね！

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/01/08 15:23

普通に順番に展開して行けば出来ます。

(x+1)(x+2)=x²+3x+2だから
問題=(x²+3x+2)(x+3)(x+4)(x+5) になるし
(x+3)(x+4)=x²+7x+12だから
問題=(x²+3x+2)(x²+7x+12)(x+5) になるし

とにかく練習が必要

---------------------------------------------------------
やってく内に上手いやり方を思い付く
和と差の積という重要なものも覚えた方が良い。
(a+b)(a-b)=a²-b²

(x+3)をaとおくと
問題=(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 順番を入れ替えると
=(a+2)(a-2)(a+1)(a-1)a 和と差の積を使うと
=(a² -4)(a² -1)
=(a⁴ - 5a² + 4)a
=a⁵ - 5a³ + 4a　①

aを(x+3)に戻して①を計算する。
(x+3)⁵ - 5(x+3)³ + 4(x+3)　を計算

これはこれで面倒だから、順番に計算した方が早い。

No.3 回答者： tucky 回答日時： 2017/01/08 14:36

このような丸投げに回答する気にならないんだけれど、

例えば、No.1の回答に対して、ｙに置き換えて考えてみました？

とにかく鉛筆を持って考えることです。
そうしなければ出来るようにはなりません。

No.2 回答者： LHS07 回答日時： 2017/01/08 11:54

教科書を理解すればできる問題です。

教科書は何十回も読むもの。
解るまで読みましょう。