式の計算の展開についてです。
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
を工夫して展開する方法を教えて下さい

Question

kurokurosun · Accepted Answer

算数や数学のコツは、
個人的には、似たようなものを探すことだと思います。

この例では、
１と４を足すと５
２と３を足すと５

なんか似ているような。。。と感じることができると思います。
（これが瞬間的に感じられる必要があると思います。）

(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab  という公式があり、
a+bで、足し算があるな、、、、と上の感じたこととつながるのです。

すると、
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
＝(x+1)(x+4) × (x+2)(x+3)　というように考えると良いのでは？と思いつくわけです。

＝(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)
x^2+5x=a とおくと、

＝(a+4)(a+6)
＝(a^2+10a+24)
となり、
＝（x^2+5x)^2＋10(x^2+5x)+24
あとは、展開するだけ、、、です。

kairou · Answer

この程度の簡単な式の積では、
どんな工夫をしても 計算の手間は
ほとんど変わらないと思いますよ。
下手な細工をすると 逆効果になり易いです。

① このまま 左から順に 展開する。
　 与式=(x²+3x+2)(x+3)(x+4)
    =(x³+6x²+11x+6)(x+4)
    =x⁴+4x³+6x³+24x²+11x²+44x+6x+24
    =x⁴+10x³+35x²+50x+24 。

②  展開の順番を入れ替える。
　 与式=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)
    =(x²+5x+4)(x²+5x+6)
    =(x²+5x)²+10(x²+5x)+24
    =x⁴+10x³+25x²+10x²+50x+24
    =x⁴+10x³+35x²+50x+24 。

③ (x+2)=a とする。
　 与式=(a-1)a(a+1)(a+2)=a(a-1)(a+1)(a+2)
     =a(a²-1)(a+2)=a(a³+2a²-a-2)=a⁴+2a³-a²-2a
     a を 元に戻して (x+2)⁴+2(x+2)³-(x+2)²-2(x+2) 、
　　この計算は、かなりめんどくさい。

varietyknowledge · Answer

正直(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)の展開に工夫の余地はほぼないといっていいでしょう。

例えば、p=x+3と置換すると、
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
=(p-2)(p-1)p(p+1)

と一見計算が楽になるように見えますが、

=(p-2)(p^3-p)
=p^4 - 2p^3 - p^2 + 2p
=(x+3)^4 - 2(x+3)^3 - (x+3)^2 + 2(x+3)

となり、結果的に素直に展開するより面倒になります。

半ば暗記として、

(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)
=x^4 + (a+b+c+d)x^3 + (ab+ac+ad+bc+bd+cd)x^2 + (abc+acd+abd+bcd)x + abcd

としてa=1,b=2,c=3,d=4と代入したほうが早いかもしれません。

raizo-ichikawa · Answer

=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)
=(x2+5x+4)(x2+5x+6):x2+5x=Xと置く
=(X+4)(X+6)
=(X2+10X+24):X=x2+5xに戻す
=(x2+5x)2+10(x2+5x)+24
=(x4+10x3+25x2)+(10x2+50x)+24
=x4+10x3+35x2+50x+24←答え

式の計算の展開についてです。 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) を工夫して展開する方法を教え

算数や数学のコツは、

この程度の簡単な式の積では、

正直(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)の展開に工夫の余地はほぼないといっていいでしょう。

=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)

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