高校数学 数列

解答解説がなく、自分で解いてみたのですがわかりませんでした。
どなたか解答解説を教えてくださいm(__)m

問い、実数の列 a〔1〕a〔2〕a〔3〕・・・を次のように定める。
a〔1〕＝1とし、曲線y＝x^2上の点Ｐi（a〔i〕,｛a〔i〕｝^2）（i＝1,2,3・・・）における接線とx軸との交点Ｑ〔i＋1〕のx座標をa〔i＋1〕とする。
以下の問いに答えよ
（1）a〔Ｎ〕≦10^−6となる最小のNをもとめよ。ただし、log〔10〕（2 ）＝0.3010とする。
（2）三角形Ｑ〔i〕Ｐ〔i〕Ｑ〔i＋1〕の面積をS〔i〕とおく。
和Σ〔i＝1 、n 〕Siを求めよ。ただし点Ｑ〔1〕の座標は（1.0）とする。

お願い致しますm(__)m

No.1 回答者： Ku-Mei 回答日時： 2017/02/10 22:48

1. まず a[i] から a[i + 1] を求めるために、Pi における接線の方程式をもとめると、y = f'(a[i])(x - a[i]) となる。

y = 0 として、a[i + 1] を求めると、a[i + 1] = a[i]/2 となる。
a[1] = 1 より、a[i] = (1/2)^(i -1) となる。
この式より、a[n] =< 10^(-6) となる最小の n を求めるために、この式の両辺の対数を取って計算する（以下省略、単に割り算をするだけだからいいでしょう）。

２．１の結果より、Q[i + 1] = (a[i + 1], 0) = ((1/2)^i, 0) である。三角形Q[i]P[i]Q[i + 1] の３点の座標が得られたから、それからその面積 S[i] を求めると、
　　S[i] = (a[i] - a[i + 1])(a[i])^2/2 = (1/2)^(i + 1)
である。 したがって、求める S[i] の総和は、
　　Σ S[i] = Σ(1/2)^(1 + 1)
後は、計算できるでしょうから省略します（公比が 1/2 の等比数列の和ですから、公式で計算できる。ただし、初項を間違えないように）。

No.2 ベストアンサー 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/02/11 00:16

要するに、

i=1の時x=1→y=1^2＝1→傾きy'=2x=2→(x,y)を通る傾きy'の直線1=2+b→接線y=2x-1→x軸との交点0=2x-1→x=1/2これをi=2におけるxとする。
という方法でa(i)を決めていくわけですね。

i=2でも試してみましょう
x=1/2→y=(1/2)^2=1/4→y'=2*1/2=1→1/4＝1*1/2+ｂ→y=x-1/4→0=x-1/4→x=1/4

大体分かりましたが、念のためi=3でも試してみましょう
x=1/4→y=(1/4)^2=1/16→y'=2*1/4=1/2→1/16=1/2*1/4+b→y=x-1/16→0=1/2*x-1/16→x=1/8

つまりa(i)=2^(1-i)というわけですね。

(1)
10^6=1,000,000
2^10=1024
2^20=1024*1024=1024000+20480+4096=1,048,576
2^19=2^20/2=524,288
2^19<10^6<2^20なので
a(i)=2^(1-i)≦10^-6
となる最小のiは、1-i=-20の時なので
i=21である。

log〔10〕（2 ）＝0.3010　を使いたいのであれば、
「2^19<10^6<2^20なので」までの所を
「19<6÷0.3010<20なので」とすればよい。

(2)
S(i)=(a(i)-a(i+1))*(a(i)^2)/2
=(2^(1-i)-2^(-i))*(2^(1-i)^2)/2
=2^(-i)*(2-1)*(2^(1-i)^2)/2
=2^(-i)*(2^(1-i)^2)/2
=2^(-i)*2^(2-2i)/2
=2^(1-3i)

Si=1/4+1/32+1/256…
＝1/4+1/4*1/8+1/4*1/8^2+…
これは等比数列の和ですね。
なので
Si=(1/4)(1-1/8^n)/(1-1/8)
=(1/4)(1-1/8^n)/(7/8)
=(2/7)(1-1/8^n)
となります